《图解算法》系列学习（一）

算法是人们利用电脑解决问题的技巧。《图解算法》这本书以轻松的对话方式，采用图解的辅助说明，帮助读者简单、自然地掌握算法的基本概念，并养成主动思考的习惯，达到用算法解决实际问题的目的。本书豆瓣评分高达8.4，建议要学习算法的同学可以先看这本书入门。

《算法图解》豆瓣评分

　　全书共分12章，内容包括一切从观察开始、分而治之法、动态规划、贪婪法、修剪与搜索法、树搜索法、问题转换、图算法、计算几何、算法的难题、逼近算法、随机算法等。 　　本书示例丰富，图文并茂，以易于理解的方式阐释算法，帮助程序员在日常项目开发中更好地发挥算法的能量。我把我从这本书学到的知识内容整理为几篇笔记，希望对你们有帮助。

二分法查找

在有序的数组中，用二分法查找需要检查多少个元素

完整实现代码如下：（笔记都是Python语言实现）

def binary_search(list,item):
    low=0
    high=len(list)-1
    while low<=high:
        mid=(low+high)/2
        guess=list[mid]
        if guess==item:
            return mid
        if guess>item:
            high=mid-1
        else :
            low=mid+1
return None      #没有指定的元素
 
my_list=[1,3,5,7,9]
print(binary_search(my_list,3)   #=>1 第二个位置的索引为1
print(binary_search(my_list,-1)  #=>None 没有找到指定的元素

大O表示法

该算法指出了算法有多快。大O表示法指的并非以秒为单位的速度，而是比较操作数，指出算法运行时间的增速。大O算法一般运行时间都省略常数，+、-、乘除也都省略。

二分法使用大O表示法表示运行时间为O(log n)。

下面从快到慢的顺序列出了15种大O运行时间：

O(log n)，也叫对数时间，包括二分查找

O(n)，也叫线性时间，包括简单查找

O(n x logn)，快速排序法—速度较快的算法

O(n^2)，选择排序——一种速度较慢的算法

O(n!)，旅行商问题的解决方法——非常慢的算法

选择排序

数组：所有数组在内存中都是相连的（紧靠在一起）。如果·计算机预留内存不够，就得转移到其它内存去。一般计算机都会预留比较多的内存已让其它数组存进来，但是这也是对内存的一种浪费。

链表：链表的每一个元素都储存了下一个元素的地址，从而使一系列随机的内存地址串在一起。所以在链表添加元素很容易，只需将其放入内存，并将其地址储存在前一个元素中。

所以链表读取速度慢，但是插入速度快；数组插入速度慢。

下面是常见数组和链表操作的运行时间

| |数组 |链表 |

| 读取 | O(1) | O(n)|

| 插入 |O(n) |O(1) |

|删除 |O(n) |O(1) |

数组一般用的比较多，因为它支持随机访问和顺序访问；而链表只能顺序访问，因此经常说数组的读取速度很快。

示例代码：

#查找最小值的函数
def findSmalllest(arr):
    smallest=arr[0]    #储存最小的值
    smallest_index=0   #储存最小元素的索引
    for i in range(1,len(arr)):
        if arr[i]<smallest:
            smallest=arr[i]
            smallest_index=i
 #对数组进行排序
 def selectionSort(arr):
    newArr=[]
    for i in range(len(arr)):
        smallest=findSmallest(arr)
        newArr.append(arr.pop(smallest)
    return newArr
    
 print(selectionSort([5,3,6,2,10]))

递归

每个函数都有两部分：基线条件和递归条件。递归条件指的是函数调用自己，而基线条件指的是函数不再调用自己，从而避免形成无限循环。如下述伪代码所示：

def countdown(i):
    print(i)
    if (i<=1):    //基线条件
      return 
    else:        //递归条件
      countdown(i-1)

快速排序

你有可能会遇到使用任何已知的算法都无法解决的问题，优秀的人一般都不会放弃，分而治之（D&C）【divide and conquer】是你学习的第一种通用的问题的解决方法。

提示：编写涉及数组的递归函数时，基线条件通常是数组为空或只包含一个元素。陷入困境时，请检查基线条件是不是这样的。

例如：请编写一个递归函数来计算列表包含的元素数。

def count(list):
    if list==[]:
      return 0
    else:
      return 1+count(list[1:])

找出列表中最大的数字：

def max(list):
    if len(list)==2:
      return list[0] if list[0]>list[1] else list[1]
    sub_max=max(list[1:])
    return list[0] if list[0]>sub_max else sub_max

C语言标准库中的函数qsort 实现的就是快速排序，快速排序也使用了D&C。

快速排序步骤

（1）选择一个基准值

（2）将数组分为两个子数组：小于基准值的元素和大于基准值的元素。

（3）对这两个数组进行快速排序【按步骤一来】

以此类推，对其它数组都进行快速排序

下面是快速排序的代码：

def quicksort(array):
    if len(array) < 2:
      return array   //基线条件：为空或只包含一个元素的数组是有序的
    else:
      pivot = array[0]      //递归条件
      less = [i for i in array[1:] if i <= pivot     //由小于或等于基准值的元素组成的子数组
      greater = [i for i in array[1:] if i > pivot]   //由所有大于基准值的元素组成的子数组
      return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)
print(quicksort([10,5,2,3]))

在大O表示法O(n)中，n实际上指的是这样的：c x n（其中C为固定的时间量）。通常不考虑这个常量，因为如果两种算法的大O运行时间不同，这种常量将无关紧要。如下面这个例子：

简单查找：10（毫秒）x n

二分查找：1（秒）x logn

如上述所示，你可能认为简单查找的速度要快于二分查找，然而实际上二分查找要速度快得多。所以常量根本没有什么影响。

在这实例中，层数为O(log n)用技术术语来说，调用栈的高度为O(log n)，而每层需要的时间为O(n)。因此整个算法需要的时间为O(n)xO(log n)=O(nlog n)。

在最糟的情况下，有O(n)层，因此该算法的运行时间为O(n)xO(n)=O(n^2)。