振型叠加法解动力学方程

振型叠加法解动力学方程

振型叠加法求解动力学方程由两个步骤组成：一是求解结构的固有频率和振型；二是求解结构的动力响应。本文重点讨论第二步。

对于结构的运动方程

引入坐标变换

式中，

，，，

称为广义位移。此变换的意义是将看成是的线性组合。从数学上看，是将位移从有限元系统的节点位移向量为基向量(物理坐标)的维空间转换到以为基向量(振型坐标)的维空间。

将代入，两边同时乘以,并考虑到关于刚度矩阵和质量矩阵的正交性，得到结构在以为基向量的维空间内的运动方程

其中

称为广义力。在两端同时左乘,并令,可将初始条件变换成

由可知，如果忽略阻尼影响，有限元系统的运动方程可以用相应的振型矩阵解耦成个互不耦合的单自由度系统运动方程。由于阻尼矩阵无法得到显式的表达式，只能近似的考虑阻尼的影响。考虑求解的方便，假设阻尼矩阵与振型矩阵正交，即

其中是第振型的模态阻尼比。此时变为个互不耦合的二阶常微分方程。

中每个方程都相当于一个单自由度系统的运动方程，可以用直接积分法求解，或者用杜哈梅积分求解。

• 算例

用振型叠加法解运动方程

其中

初始条件

(1)、由解得广义特征对

(2)、写出互不耦合的运动方程 记

由坐标变换

可得到坐标变换后的运动方程

广义坐标初始值为,

的精确解为

进一步

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