汉明码

1. 简介

汉明码是一种完备的线性码，具有很多很好的性质，而且其译码方法也非常简洁高效。

2. 汉明码

2.1 二元汉明码

2.2 多元汉明码

不难看出，对任意

中恰好有一个向量，其第一个非零分量为 1。因此，一种写出

的校验矩阵的简单方法就是：按字典排序写出 V(r,q)中所有第一个非零分量为 1 的非零向量。

3. 性质

4. 译码方法

5. 对偶码

5.1 二元汉明码的对偶码

二元汉明码 Ham(r,2)的对偶码有时也称为极长码或单纯码，记为 Σr​。Σr​ 的生成矩阵（也即 Ham(r,2)的校验矩阵）记为 Gr​。Σr​ 是一个二元

线性码。

• 定理三：在二元汉明码 Ham(r,2) 的对偶码 Σr中，任意一个非零码字的重量都是

并且任意两个不同码字之间的距离都等于

。

附录

• 《编码理论基础》by 陈鲁生