D2L学习笔记01：线性代数

Hsinyan

发布于 2022-08-30 15:33:14

8200

发布于 2022-08-30 15:33:14

这里略去了课程中部分线性代数基础笔记，只记录了自己理解得不够深刻的部分

张量算法的基本性质

标量、向量、矩阵和任意数量轴的张量（本小节中的“张量”指代数对象）有一些实用的属性。例如，你可能已经从按元素操作的定义中注意到，任何按元素的一元运算都不会改变其操作数的形状。同样，给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量。例如，将两个相同形状的矩阵相加，会在这两个矩阵上执行元素加法。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()  # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
A, A + B

#(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
#         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
#         [ 8.,  9., 10., 11.],
#         [12., 13., 14., 15.],
#         [16., 17., 18., 19.]]),
# tensor([[ 0.,  2.,  4.,  6.],
#         [ 8., 10., 12., 14.],
#         [16., 18., 20., 22.],
#         [24., 26., 28., 30.],
#         [32., 34., 36., 38.]]))

具体而言，两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积（Hadamard product）（数学符号\odot）。

对于矩阵\textbf{B} \in \textbf{R}^{m \times n}，其中第i行和第j列的元素是b_{ij}。矩阵\textbf{A}和\textbf{B}的Hadamard积为：

$$ \textbf{A} \odot \textbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & \dots & a_{1n} b_{1n} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \dots & a_{2n} b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & a_{m2} b_{m2} & \dots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}. $$

A * B
# tensor([[  0.,   1.,   4.,   9.],
#        [ 16.,  25.,  36.,  49.],
#        [ 64.,  81., 100., 121.],
#        [144., 169., 196., 225.],
#        [256., 289., 324., 361.]])

将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。

a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape

#(tensor([[[ 2,  3,  4,  5],
#          [ 6,  7,  8,  9],
#          [10, 11, 12, 13]],
# 
#         [[14, 15, 16, 17],
#          [18, 19, 20, 21],
#          [22, 23, 24, 25]]]),
# torch.Size([2, 3, 4]))

降维

我们可以对任意张量进行的一个有用的操作是计算其元素的和。在数学表示法中，我们使用\sum符号表示求和。为了表示长度为d的向量中元素的总和，可以记为\sum_{i=1}^dx_i。在代码中，我们可以调用计算求和的函数：

x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()

# (tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))

我们可以表示任意形状张量的元素和。例如，矩阵\textbf{A}中元素的和可以记为\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}。

A.shape, A.sum()
# (torch.Size([5, 4]), tensor(190.))

默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。我们还可以指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度。以矩阵为例，为了通过求和所有行的元素来降维（轴0），我们可以在调用函数时指定axis=0。由于输入矩阵沿0轴降维以生成输出向量，因此输入轴0的维数在输出形状中消失。

A

# tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
#        [ 4.,  5.,  6.,  7.],
#        [ 8.,  9., 10., 11.],
#        [12., 13., 14., 15.],
#        [16., 17., 18., 19.]])

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

# (tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))

简单的说，按照第一个维度（轴0、即行）求和，消去了第一个维度。

A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape

# (tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))

按照第二个维度（轴1、即列）求和，消去了第二个维度

A.sum(axis=[0, 1])  # Same as A.sum()
# tensor(190.)

同样，计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。

A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
# (tensor([ 8.,  9., 10., 11.]), tensor([ 8.,  9., 10., 11.]))

非降维求和

有时在调用函数来计算总和或均值时保持轴数不变会很有用

sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A
# tensor([[ 6.],
#        [22.],
#        [38.],
#        [54.],
#        [70.]])

由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以通过广播将A除以sum_A。

A
#tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
#        [ 4.,  5.,  6.,  7.],
#        [ 8.,  9., 10., 11.],
#        [12., 13., 14., 15.],
#        [16., 17., 18., 19.]])

A.shape
# torch.Size([5, 4])
sum_A.shape
# torch.Size([5, 1])

A / sum_A

#tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
#        [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
#        [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
#        [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
#        [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])

如果想沿某个轴计算A元素的累积总和，比如axis=0（按行计算），我们可以调用cumsum函数。此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。

A.cumsum(axis=0)
#tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
#        [ 4.,  6.,  8., 10.],
#        [12., 15., 18., 21.],
#        [24., 28., 32., 36.],
#        [40., 45., 50., 55.]])

点积（Dot Product）

给定两个向量\textbf{x},\textbf{y}\in\mathbb{R}^d，它们的点积（dot product）\textbf{x}^\top\textbf{y}（或\langle\textbf{x},\textbf{y}\rangle），是相同位置的按元素乘积的和：\textbf{x}^\top \textbf{y} = \sum_{i=1}^{d} x_i y_i。

y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)

# (tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))

点积在很多场合都很有用。例如，给定一组由向量\textbf{x} \in \mathbb{R}^d表示的值，和一组由\textbf{w} \in \mathbb{R}^d表示的权重。\textbf{x}中的值根据权重\textbf{w}的加权和，可以表示为点积\textbf{x}^\top \textbf{w}。当权重为非负数且和为1（即\left(\sum_{i=1}^{d}{w_i}=1\right)）时，点积表示加权平均（weighted average）。将两个向量规范化得到单位长度后，点积表示它们夹角的余弦。

范数

线性代数中最有用的一些运算符是范数（norm）。非正式地说，一个向量的范数告诉我们一个向量有多大。这里考虑的大小（size）概念不涉及维度，而是分量的大小。

在线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数f。给定任意向量\textbf{x}，向量范数要满足一些属性。第一个性质是：如果按常数因子\alpha缩放向量的所有元素，其范数也会按相同常数因子的绝对值缩放：

f(\alpha \textbf{x}) = |\alpha| f(\textbf{x}).

第二个性质是我们熟悉的三角不等式:

f(\textbf{x} + \textbf{y}) \leq f(\textbf{x}) + f(\textbf{y}).

第三个性质简单地说范数必须是非负的:

f(\textbf{x}) \geq 0.

这是有道理的。因为在大多数情况下，任何东西的最小的大小是0。最后一个性质要求范数最小为0，当且仅当向量全由0组成。

\forall i, [\textbf{x}]_i = 0 \Leftrightarrow f(\textbf{x})=0.

范数听起来很像距离的度量。如果你还记得欧几里得距离和毕达哥拉斯定理，那么非负性的概念和三角不等式可能会给你一些启发。事实上，欧几里得距离是一个L_2范数：

假设n维向量\textbf{x}中的元素是x_1,\ldots,x_n，其L_2范数是向量元素平方和的平方根：

\|\textbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},

其中，在L_2范数中常常省略下标2，也就是说\|\textbf{x}\|等同于\|\textbf{x}\|_2。在代码中，可以按如下方式计算向量的L_2范数。

u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)
# tensor(5.)

在深度学习中，更经常地使用L_2范数的平方。也会经常遇到L_1范数，它表示为向量元素的绝对值之和：

\|\textbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|.

与L_2范数相比，L_1范数受异常值的影响较小。为了计算L_1范数，要将绝对值函数和按元素求和组合起来。

torch.abs(u).sum()

L_2范数和L_1范数都是更一般的L_p范数的特例：

\|\textbf{x}\|_p = \left(\sum_{i=1}^n \left|x_i \right|^p \right)^{1/p}.

类似于向量的L_2范数，矩阵\textbf{X} \in \mathbb{R}^{m \times n}的Frobenius范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根：

\|\textbf{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2}.

Frobenius范数满足向量范数的所有性质，它就像是矩阵形向量的L_2范数。调用以下函数将计算矩阵的Frobenius范数。

torch.norm(torch.ones((4, 9)))
# tensor(6.)

矩阵求导

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