前缀和与差分数组（附练习题）
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
前缀和与差分数组
前缀和
对于 a1, a2, a3, a4, a5, a6, … 前缀和 Si = a1 + a2 + a3 + a4 +…+ ai，S0 = 0 其中，[l, r] 区间的前缀和为：Sr – S(l-1)
题目链接: 前缀和.
题目： 输入一个长度为n的整数序列。 接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。 对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。
输入格式 第一行包含两个整数n和m。 第二行包含n个整数，表示整数数列。 接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。
输出格式 共m行，每行输出一个询问的结果。
数据范围 1≤l≤r≤n, 1≤n,m≤100000, −1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例： 5 3 2 1 3 6 4 1 2 1 3 2 4 输出样例： 3 6 10
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N], s[N];
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];//前缀和初始化
while(m--)
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", s[r] - s[l-1]);
}
return 0;
}二维前缀和
对于二维数组 A[][]，S[ i ] [ j ] 表示 A[ i ] [ j ] 左上角全部元素的和
假如想知道 A[X1][Y1] 到 A[X2][Y2] 之间的前缀和，也就是下面图中蓝色的部分，应该用这个式子来算： S[X2][Y2] – S[X2][Y1-1] – S[X1-1][Y2] + S[X1 – 1][Y1 – 1] 其中 S[X2][Y1-1] + S[X1-1][Y2] – S[X1 – 1][Y1 – 1] 为黄色 L 型部分 其中，S[i][j] = S[i – 1][j] + S[i][j – 1] – S[i – 1][j – 1] + A[i][j]
如果感觉上图不太清楚的，可以对着公式看下面的图，绿色区间为 S[3][3]
红色框框住的部分为 A[3][2] 到 A[5][3] 之间的前缀和，对照公式 S[X2][Y2] – S[X2][Y1-1] – S[X1-1][Y2] + S[X1 – 1][Y1 – 1] 也就是说 ，此时前缀和为：S[5][3] – S[5][1] – S[2][3] + S[2][1]
（注：因为我懒得画图，所以以上两盗用了 y 总的图。。。） 以下为题目和实现代码
例题：子矩阵的和
题目链接: 子矩阵的和.
题目： 输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。 对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式 第一行包含三个整数n，m，q。 接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。 接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。
输出格式 共q行，每行输出一个询问的结果。
数据范围 1≤n,m≤1000, 1≤q≤200000, 1≤x1≤x2≤n, 1≤y1≤y2≤m, −1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例： 3 4 3 1 7 2 4 3 6 2 8 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 3 4 1 3 3 4
输出样例： 17 27 21
代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], s[N][N];
int n, m, q;
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];//前缀和计算
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2;
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 -1]);//计算部分和
}
return 0;
}差分数组
对于数组 a1, a2, a3, …, an 构造数组 b1, b2, b3, b4, …,bn 使得数组 a 为数组 b 的前缀和，即 ai = b1 + b2 + b3 +… + bi 可知： b1 = a1 – 0 b2 = a2 – a1 b3 = a3 – a2 … bn = an – an-1 所以，数组 b 称为数组 a 的差分数组，可见差分与前缀和互为逆运算
差分数组可以用在以下情况中：如果我们需要对 a 数组中从 l 到 r 的每个元素都加上一个数 c，那么，如果只是用循环的方法去遍历a 数组，复杂度可能是 O(n)，但是，如果用差分数组来做，复杂度可以降低到 O(1)
解释如下：
对于 a 数组来说
a1, a2, ..., al + c, al+1 +c, ... , ar + c, ar+1,...
用 b 数组来做，只需要将 bl + c，因为 a 是 b 数组的前缀和，所以从 al 开始，
每个元素都加了 c，之后让 br+1 - c，从 ar+1 开始，加 c 减 c 抵消，ar+1 不变
ai = b1 + b2 +.... + bi
|—————————————————|——————————————|——|——————————————————————|
b1 bl br br+1
+c -c具体做的时候，我们需要根据 a[] 数组求出 b[] 数组，假设 a[] 数组最初都是 0，那么 b[] 数组也都是 0，之后将 a[] 数组的形成看作是向每个元素位置插入 ai，那么， b[] 数组可以用在 bi 位置插入 ai，在 bi+1 位置减去 ai 的方法生成。而且这个插入函数还可以解决后面 al 到 ar 都加上一个数的问题，一举两得。具体的话，看看下面的程序就明白啦~
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N], b[N];
int n, m;
void insert(int l, int r, int c)
{
b[l] += c;
b[r + 1] -= c;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);//输入 a[] 数组
for(int j = 1; j <= n; j++) insert(j, j, a[j]);//生成 a[] 数组的差分数组 b[]
while(m--)
{
int l, r, c;
scanf("%d%d%d", &l,&r, &c);
insert(l, r, c);
}
for(int i = 1; i <= n; i ++) b[i] += b[i - 1];//将 b[] 变为他自己的前缀和
for(int j = 1; j <= n; j ++) printf("%d ", b[j]);//输出，即为改变后的 a[] 数组
return 0;
}二维差分矩阵
假如想令 a[x1][y1] 到 a[x2][y2] 之间的数都加上 c，也就是下面图中绿色的部分，那么我们可以用它的差分数组 b[][] 来计算。首先给整个彩色框中的元素（即从 a[x1][y1] 开始的右下角元素）都加上 c，之后，绿色部分外的黄色+红色部分，减去 c。黄色与红色重合部分，因为在前面的操作中已经加了一个 c ，减了两个 c，所以还需要加一个 c，保持原状
具体题目及代码如下：
例题：差分矩阵
题目链接: 差分矩阵.
题目： 输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1, y1, x2, y2, c，其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c，请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式 第一行包含整数 n, m, q。 接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。 接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。
输出格式 共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围 1≤n,m≤1000, 1≤q≤100000, 1≤x1≤x2≤n, 1≤y1≤y2≤m, −1000≤c≤1000, −1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例： 3 4 3 1 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 2 3 2 3 1 3 4 1
输出样例： 2 3 4 1 4 3 4 1 2 2 2 2
代码：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
int n, m, p;
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
scanf("%d", &a[i][j]);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
insert(i, j, i, j, a[i][j]);//构建差分数组 b
while(p--)
{
int x1, y1, x2, y2, c;
scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
insert(x1, y1, x2, y2, c);//处理本题问题
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
b[i][j] += b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i -1][j -1];//求 b 数组的前缀和，即 a 数组。（可以通过画图来理解）
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
printf("%d ", b[i][j]);
puts(" ");//利用puts换行
}
return 0;
}发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/144946.html原文链接：https://javaforall.cn
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