【题解】麦森数(高精度计算)
题目描述
形如
的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，
不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算
的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）
输入格式
文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）
输出格式
第一行：十进制高精度数
的位数。
第2-11行：十进制高精度数
的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证
与P是否为素数。
输入输出样例
输入 #1
1279输出 #1
386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087题目分析
题目需要我们解决两个问题
- 位数
- 最后500位数字
首先对于位数，我们
的位数一定与
的位数相同，因为
不可能出现个位为0的情况。所以只需要求
的位数即可。
已知
所以
所以
的位数等于
。而cmath存在函数log10(x) 可以求解
的值。
所以位数等于ceil(p*log10(2)) 。
其次，再来解决第二个问题。求后500位的内容。500位的数字对于现有的整数类型来说还是太大了，所以采用高精度的方式处理，而且我们每次只需处理后500位即可。将高精度乘二的过程重复p次即可。理论上的执行次数是 500p500p500p 而p的范围的限制，导致总的次数达到
。
此时，可以考虑压位高精的方式进行处理，使用 long long 类型，每个元素保留10位的数字，500 位数字，只需50个元素即可，降低总次数至 10810^8108 的量级。
代码实现
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll M=1e10;
ll a[55]={1};
void minus2(){//大数乘2
ll jw=0;//进位值
for(int i=0;i<50;i++){//从低位开始进行乘2
a[i]=a[i]*2+jw;
jw=a[i]/M;//计算进位值
a[i]%=M;//只保留10位数值
}
}
int main(){
int p;
cin>>p;
cout<<ceil(p*log10(2))<<endl;//计算2^p-1 的位数
for(int i=1;i<=p;i++){//p个2相乘，计算2^p
minus2();
}
a[0]--;//个位减一
for(int i=49;i>=0;i--){//从高位开始输出
printf("%010lld",a[i]);//每个元素代表10位值，高位用0填充
if(i%5==0){//50个为一行
printf("\n");
}
}
return 0;
}
Q.E.D.
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