两数之和，两数之积

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。已知两个1~30之间的数字，甲知道两数之和，乙知道两数之积。 甲问乙：”你知道是哪两个数吗？”乙说：”不知道”； 乙问甲：”你知道是哪两个数吗？”甲说：”也不知道”； 于是，乙说：”那我知道了”； 随后甲也说：”那我也知道了”； 这两个数是什么？ 答案： 答案1：为x=1，y=6；甲知道和A=x+y=7，乙知道积B=x*y=6 答案2：为x=1，y=8；甲知道和A=x+y=9，乙知道积B=x*y=8 解： 设这两个数为x，y. 甲知道两数之和 A=x+y； 乙知道两数之积 B=x*y； 该题分两种情况 ： 允许重复， 有(1 <= x <= y <= 30)； 不允许重复，有(1 <= x < y <= 30)； 当不允许重复，即(1 <= x < y <= 30)； 1)由题设条件：乙不知道答案 => B=x*y 解不唯一 => B=x*y 为非质数 又∵ x ≠ y ∴ B ≠ k*k (其中k∈N) 结论(推论1)： B=x*y 非质数且 B ≠ k*k (其中k∈N) 即：B ∈(6，8，10，12，14，15，18，20…) 证明过程略。 2)由题设条件：甲不知道答案 <=> A=x+y 解不唯一 => A >= 5； 分两种情况： A=5，A=6时x，y有双解 A>=7 时x，y有三重及三重以上解 假设 A=x+y=5 则有双解 x1=1，y1=4； x2=2，y2=3 代入公式B=x*y： B1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去) B2=x2*y2=2*3=6； 得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。 与题设条件：”甲不知道答案”相矛盾， 故假设不成立，A=x+y≠5 假设 A=x+y=6 则有双解。 x1=1，y1=5； x2=2，y2=4 代入公式B=x*y： B1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去) B2=x2*y2=2*4=8； 得到唯一解x=2，y=4 即甲知道答案 与题设条件：”甲不知道答案”相矛盾 故假设不成立，A=x+y≠6 当A>=7时 ∵ x，y的解至少存在两种满足推论1的解 B1=x1*y1=2*(A-2) B2=x2*y2=3*(A-3) ∴ 符合条件 结论(推论2)：A >= 7 3)由题设条件：乙说”那我知道了” =>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解 即： A=x+y， A >= 7 B=x*y， B ∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20…) 1 <= x < y <= 30 x，y存在唯一解 当 B=6 时：有两组解 x1=1，y1=6 x2=2，y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意，舍去) 得到唯一解 x=1，y=6 当 B=8 时：有两组解 x1=1，y1=8 x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意，舍去) 得到唯一解 x=1，y=8 当 B>8 时：容易证明均为多重解 结论： 当B=6时有唯一解 x=1，y=6当B=8时有唯一解 x=1，y=8 4)由题设条件：甲说”那我也知道了” =>　甲通过已知条件A=x+y及推论(3)可以得出唯一解 综上所述，原题所求有两组解： x1=1，y1=6 x2=1，y2=8 当x<=y时，有(1 <= x <= y <= 30)； 同理可得唯一解 x=1，y=4

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