高精度快速阶乘算法

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 我在业余时间开发了一套《超大整数完全精度快速算法库》HugeCalc，可快速计算超大整数的加、减、乘、除（商/余）、乘方、开方，也可快速计算大数的 Fibonacci 数列、（双）阶乘、排列、组合等，还可完成超大整数数组的最大公约数、最小公倍数等数论运算，现在，该套软件已被华军、天空、电脑之家、天天等下载站点收录。

自在网上公开以来，广受网友关注，经常有网友来联系，想交流一些算法心得。其中涉及最多的是关于“阶乘”算法，部分是在校大学生，也许是他们的毕业设计？:)

这里，我就把关于该算法模块的核心部分，也就是一些关键点，整理出来，以供大家参考。

阶乘，是求一组数列的乘积，其效率的高低，一、是取决于高精度乘法算法，二、是针对阶乘自身特点算法的优化。

前者，是一种广为习知的技术，虽然不同算法效率可天壤之别，但终究可以通过学习获得，甚至可用鲁迅先生的“拿来主义”；

后者，则有许多的发展空间，这里我将介绍一种由我完全独创的一种方法，欢迎大家讨论，如能起到“抛砖引玉”的效果，那就真正达到了目的。

我在开发“阶乘”类算法时，始终遵循如下原则：

• 参与高精度乘法算法的两数，大小应尽可能地相近；
• 尽可能将乘法转化为乘方；
• 尽可能地优先调用平方；

言归正转，下面以精确计算 1000! 为例，阐述该算法：

记 F1(n) = n*(n-1)*…*1； F2(n) = n*(n-2)*…*(2 or 1)； Pow2(r) = 2^r； 有 F1(2k+1) = F2(2k+1) * F2(2k) = Pow2(k) * F2(2k+1) * F1(k), F1(2k) = Pow2(k) * F2(2k-1) * F1(k), 及 Pow2(u) * Pow2(v) = Pow2(u+v),

∴ 1000! = F1(1000) = Pow2(500)*F2(999)* F1(500) = Pow2(750)*F2(999)*F2(499)* F1(250) = Pow2(875)*F2(999)*F2(499)*F2(249)* F1(125) = Pow2(937)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*F2(125)* F1(62) = Pow2(968)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*F2(125)*F2(61)* F1(31) = Pow2(983)*F2(999)*F2(499)*F2(249)*F2(125)*F2(61)*F2(31)* F1(15) = …

如果你预存了某些小整数阶乘（比如这里的“ F1(15)”），则可提前终止分解，否则直至右边最后一项为“ F1(1)”为止；这样，我们 将阶乘转化为2的整数次幂与一些连续奇数的积（或再乘以一个小整数的阶乘）；

再定义：F2(e,f) = e*(e-2)*…*(f+2)，这里仍用“F2”，就当是“函数重载”好了:)， 则 F2(e) = F2(e,-1) = F2(e,f)*F2(f,-1) （e、f为奇数，0≤f≤e）

∴ F2(999) = F2(999,499)*F2(499,249)*F2(249,125)*F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31), F2(499) = ____________F2(499,249)*F2(249,125)*F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31), F2(249) = ________________________F2(249,125)*F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31), F2(125) = ____________________________________F2(125,61)*F2(61,31)*F2(31), F2( 61) = _______________________________________________F2(61,31)*F2(31), F2( 31) = _________________________________________________________F2(31), ∴ F1(1000) = F1(15) * Pow2(983) * F2(999,499) / * [F2(499,249)^2] * [F2(249,125)^3] / * [F2(61,31)^4] * [F2(31)^5] 这样，我们又 将阶乘转化为了乘方运算。

上式实际上是个形如 a * b^2 * c^3 * d^4 * e^5 的式子；我们再将指数转化为二进制，可得到如下公式： a * b^2 * c^3 * d^4 * e^5 = (a*c*e)*[(b*c)^2]*[(d*e)^4] = (((e*d)^2)*(c*b))^2*(e*c*a)， 即可 转化成了可充分利用高效的平方算法。

最后，我再提供大家一个 确保“小整数累乘不溢出”的技巧，这是我自创的，相信会对大家有借鉴作用：

1. 应采用“倒序”，比方说，应按 999 * 997 * … 的顺序；
2. 可预先设定一个数组，记录如果当前起始数组的最大值不大于某个值，则连乘多少个数不会溢出；
3. 可利用“几何平均值≤算术平均值”定理，可推导出“ k 个自然数连乘不大于某个定值，其充分条件是其和不大于某个临界值”，我们只需要事先计算出它们的对应关系并保存下来。

上述算法是 HugeCalc Ver1.2.0.1 的算法关键点，其效率已略高于liangbch(宝宝)的高级算法3.0版。

在最新的 HugeCalc Ver2.1.0.1 中，采用的是更彻底的分解成质因数的方法，技巧性倒反不如上面的强（但却需要有高效的素数筛法），但里面的很多思想仍在延续。

备注：

1. 作者：郭先强；发布日期：2004-06-15；
2. 本文的初稿发表于著名的“CSDN – 技术社区 – 专题开发 数据结构与算法问题”；
3. 相关下载：超大整数完全精度快速计算器/算法库

超大整数高精度快速计算器

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