bzoj4173 数学

yzxoi

发布于 2022-09-19 08:21:54

2370

发布于 2022-09-19 08:21:54

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Description

题目链接：bzoj4173

组成的集合，求

\phi(n)\times \phi(m)\times \sum_{k\in S(n,m)}\phi(k)\bmod 998244353

Solution

重点是看后面的那个式子怎么化：

\sum_{k\in S(n,m)}\phi(k)=\sum_{n\bmod k + m\bmod k \ge k} \phi(k)\

然后注重这个

，则有：

r1+r2=n\bmod k+m\bmod k\ge k

由于，则：

(n+m)-(q1+q2)\times k = r1+r2 \ge k

两边同除得：

\lfloor \frac{n+m}{k}\rfloor-\lfloor \frac{n}{k}\rfloor-\lfloor \frac{m}{k}\rfloor=1

所以：

\begin{align}\sum_{n\bmod k + m\bmod k \ge k} \phi(k)&=\sum_{k=1}^{n+m}\phi(k)\times[\lfloor \frac{n+m}{k}\rfloor-\lfloor \frac{n}{k}\rfloor-\lfloor \frac{m}{k}\rfloor=1]\\&=\sum_{k=1}^{n+m}\phi(k)\times(\lfloor \frac{n+m}{k}\rfloor-\lfloor \frac{n}{k}\rfloor-\lfloor \frac{m}{k}\rfloor)\\&=\sum_{k=1}^{n+m}\phi(k)\times\lfloor \frac{n+m}{k}\rfloor-\sum_{k=1}^{n+m}\phi(k)\times\lfloor \frac{n}{k}\rfloor-\sum_{k=1}^{n+m}\phi(k)\times\lfloor \frac{m}{k}\rfloor\\&=\sum_{k=1}^{n+m}\phi(k)\times\lfloor \frac{n+m}{k}\rfloor-\sum_{k=1}^{n}\phi(k)\times\lfloor \frac{n}{k}\rfloor-\sum_{k=1}^{m}\phi(k)\times\lfloor \frac{m}{k}\rfloor\\&=\sum_{k=1}^{n+m}i-\sum_{k=1}^{n}i-\sum_{k=1}^{m}i\\&=\frac{(n+m)\times(n+m-1)}{2}-\frac{n\times(n-1)}{2}-\frac{m\times(m-1)}{2}\\&=n\times m\end{align}

\phi(n)\times \phi(m)\times \sum_{k\in S(n,m)}\phi(k)=\phi(n)\times \phi(m)\times n\times m

直接搞就好了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define int long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
    Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
    Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
    Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
    #define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
    Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
    Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
    Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
    Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=1e5,p=998244353;
int n,m;
I int phi(RI m){
    RI i,S=m;for(i=2;i*i<=m;i++) if(!(m%i)){
        S=S/i*(i-1);W(!(m%i)) m/=i;
    }if(m>1) S=S/m*(m-1);return S%p;
}
signed main(){return read(n,m),writeln(phi(n)*phi(m)%p*(n%p)%p*(m%p)%p),0;}

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原始发表：2021-06-24 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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