Luogu P3232 [HNOI2013]游走 题解
Luogu P3232 [HNOI2013]游走 题解
题意
在一个无向图中，小Z以1为起点，每次以相等的概率选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z走到N（即终点），结束了这次游走，总得分为游走时经过的每一条边的编号之和。现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。 输入保证: 1. 30%的数据满足N<=10100%的数据满足2<=N<=500
思路
首先要明白高斯消元
数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。 ——转自百度百科
可以去过一过Luogu P3389 高斯消元的模板题 简单讲一下高斯消元。 如果有一个方程组，如： 将上面的方程转为下面的增广矩阵 接下来进行高斯消元。 首先找到一个第一列的数不为0的行（一般找第一列的数最大的行）（如果都为0就跳过当前步） 然后用它的第一列的数将下面行当前列的值化为0，变换过的初等矩阵与原矩阵等价，化为方程后依然成立 本矩阵第一列的数最大的为第三行就把第三行与第一行交换 然后下面行的当前列消去， 除了最后一列外，每一列都如此，最后得到上三角矩阵如图 这样我们就可以轻松求出x1,x2,x3了。 回归到这道题 我们设deg_i表示第i个点的度数，f_i表示第i个点期望经过次数：
由于当小Z到达n点时就停止游走了，因此不能考虑n点。接下来对n−1个f_i进行高斯消元求解。 设g_i表示第i条边期望经过次数： g_{i}=\frac{f_{u}}{d_{u}}+\frac{f_{v}}{d_{v}} \quad E_{i}=(u, v), u \neq n, v \neq n 最后排序，贪心，因为要求期望值最小，那么就把最大的g_i编号标至最小，以此类推。
Code
高斯消元
// luogu-judger-enable-o2
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<deque>
#include<exception>
#include<fstream>
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#include<ios>
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#include<valarray>
#include<vector>
#include<cctype>
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#include<cmath>
#include<csetjmp>
#include<csignal>
#include<cstdarg>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define MAXN 510
#define eps 1e-8
using namespace std;
inline int read(){
int res=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
return res*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x<10) putchar(x+'0');
else{
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
}
//queue<int> q;
//set<int> s;
//priority_queue<int> q1;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
//list<int> l;
//stack<int> s;
int n;
double a[MAXN][MAXN];
void Gauss(){
for(int i=0;i<n;i++){
int Cho=i;
for(int j=i;j<n;j++){
if(fabs(a[j][i]-a[Cho][i])<=eps) Cho=j;
}
for(int j=0;j<=n;j++){
swap(a[i][j],a[Cho][j]);//交换
}
if(fabs(a[i][i])<=eps){
puts("No Solution\n");//系数为0，无解:0*x=a
exit(0);
}
for(int j=i+1;j<=n;j++) a[i][j]/=a[i][i];//系数化为1
for(int j=0;j<n;j++){
if(i!=j) for(int k=i+1;k<=n;k++) a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];//计算
}
}
}
int main(){
n=read();
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<=n;j++) a[i][j]=(double)read();
Gauss();
for(int i=0;i<n;i++) printf("%.2lf\n",a[i][n]);
return 0;
}游走
// luogu-judger-enable-o2
#include<algorithm>
#include<bitset>
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#include<deque>
#include<exception>
#include<fstream>
#include<functional>
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#include<iosfwd>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<iterator>
#include<limits>
#include<list>
#include<locale>
#include<map>
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#include<new>
#include<numeric>
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#include<queue>
#include<set>
#include<sstream>
#include<stack>
#include<stdexcept>
#include<streambuf>
#include<string>
#include<typeinfo>
#include<utility>
#include<valarray>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<cerrno>
#include<cfloat>
#include<ciso646>
#include<climits>
#include<clocale>
#include<cmath>
#include<csetjmp>
#include<csignal>
#include<cstdarg>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define MAXN 510
#define eps 1e-8
#define MAXM 5000010
using namespace std;
inline int read(){
int res=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
return res*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x<10) putchar(x+'0');
else{
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
}
//queue<int> q;
//set<int> s;
//priority_queue<int> q1;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
//list<int> l;
//stack<int> s;
double a[MAXN][MAXN];
void Gauss(int n){
for(int i=0;i<n;i++){
int Cho=i;
for(int j=i;j<n;j++){
if(fabs(a[j][i]-a[Cho][i])<=eps) Cho=j;
}
for(int j=0;j<=n;j++){
swap(a[i][j],a[Cho][j]);
}
if(fabs(a[i][i])<=eps){
puts("No Solution\n");
exit(0);
}
for(int j=i+1;j<=n;j++) a[i][j]/=a[i][i];
for(int j=0;j<n;j++){
if(i!=j) for(int k=i+1;k<=n;k++) a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
}
}
}
int n,m;
int fir[MAXM],nxt[MAXM],w[MAXM],son[MAXM],tot;
int deg[MAXN],u[MAXM],v[MAXM];
double f[MAXM],ans;
struct node{
double g;
int id;
}K[MAXM];
void add(int x,int y,int z){
++tot;
nxt[tot]=fir[x];
son[tot]=y;
w[tot]=z;
fir[x]=tot;
}
bool cmp(node qx,node qy){
return qx.g>qy.g;
}
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++){
u[i]=read(),v[i]=read();
add(u[i],v[i],0);
add(v[i],u[i],0);
deg[u[i]]++;deg[v[i]]++;
}
for(int i=1;i<n;i++){
a[i-1][i-1]=1.0;
for(int to,j=fir[i];j;j=nxt[j]){
to=son[j];
if(to!=n) a[i-1][to-1]=-1.0/(double)deg[to];//制作高斯消元矩阵(增广矩阵)
}
if(i==1) a[i-1][n-1]=1.0;
}
Gauss(n-1);//高斯消元
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=a[i-1][n-1];
for(int i=1;i<=m;i++){
if(u[i]!=n) K[i].g+=(f[u[i]]/(double)deg[u[i]]);//求g[i]
if(v[i]!=n) K[i].g+=(f[v[i]]/(double)deg[v[i]]);
K[i].id=m;
}
sort(K+1,K+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++) ans+=i*K[i].g;//贪心
printf("%.3lf\n",ans);
return 0;
}本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。
原始发表：2019-05-19
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