积分上限函数_定积分的基本计算方法

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可积，对任意的 x \in [a,b]，做变上限积分

这个积分称为函数 f(x) 的积分上限函数。

当 f(x) > 0\Phi (x) 在几何上表示为右侧邻边可以变动的曲边梯形的面积。

性质1：函数 \Phi (x) 在区间 [a,b] 上连续

直观上看，当 f(x) > 0\Phi (x) 代表的是图形在区间 [a,x] 上的面积，很明显，面积随 x 的变化是连续的。

使用 \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y = 0 来证明。

因为 f(x) 在 [a,b] 上可积，所以 f(x) 在 [a,b] 上有界，设 |f(x)| \leq M，于是

由夹逼准则可得

性质2：若函数 f(x) 在区间 [a，b] 上连续，则 \Phi (x) 在区间 [a，b] 上可导，且 \Phi^{‘}(x) = f(x)。

由 1 可知：

再由定积分中值定理，得

所以有

故：变上限积分函数是 f(x) 的一个原函数。

可以看出，当 f(x) > 0\Phi(x) 在某一点的函数值就是 f(x) 在该点左侧图形的面积。

f(x) 的任意一个原函数 F(x) 满足，每一个原函数之间都相差一个常数 C。

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