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偏度能够反应分布的对称情况,右偏(也叫正偏),在图像上表现为数据右边脱了一个长长的尾巴,这时大多数值分布在左侧,有一小部分值分布在右侧。
峰度反应的是图像的尖锐程度:峰度越大,表现在图像上面是中心点越尖锐。在相同方差的情况下,中间一大部分的值方差都很小,为了达到和正太分布方差相同的目的,必须有一些值离中心点越远,所以这就是所说的“厚尾”,反应的是异常点增多这一现象。
样本X的偏度为样本的三阶标准矩
其中\mu是均值,\delta为标准差,E是均值操作。\mu_3是三阶中心距,\kappa_t 是t^{th}累积量
偏度可以由三阶原点矩来进行表示:
一个容量为n的数据,一个典型的偏度计算方法如下:
其中\bar x为样本的均值(和\mu的区别是,\mu是整体的均值,\bar x为样本的均值)。s是样本的标准差,m_3是样本的3阶中心距。
另外一种定义如下:
k_3是三阶累积量\kappa_3的唯一对称无偏估计(unique symmetric unbiased estimator)(k_3 和 \kappa_3写法不一样)。k_2=s^2是二阶累积量的对称无偏估计。
大多数软件当中使用G_1来计算skew,如Excel,Minitab,SAS和SPSS。
峰度定义为四阶标准矩,可以看出来和上面偏度的定义非常的像,只不过前者是三阶的。
样本的峰度还可以这样计算:
其中k_4是四阶累积量的唯一对称无偏估计,k_2是二阶累积量的无偏估计(等同于样本方差),m_4是样本四阶平均距,m_2是样本二阶平均距。
同样,大多数程序都是采用G_2来计算峰度。
import pandas as pd
x = [53, 61, 49, 66, 78, 47]
s = pd.Series(x)
print(s.skew())
print(s.kurt())
它是用上面的G_1来计算偏度 G_2来计算峰度,结果如下:
0.7826325504212567
-0.2631655441038463
参考:
Skewness 维基百科给出了偏差的计算公式
Kurtosis 维基百科给出峰度的计算公式
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