日拱一卒，麻省理工的线性代数课，一阶段复习

TechFlow-承志

发布于 2022-09-21 09:52:33

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发布于 2022-09-21 09:52:33

文章被收录于专栏：TechFlow

作者 | 梁唐

出品 | 公众号：Coder梁（ID：Coder_LT）

大家好，日拱一卒，我是梁唐。

我们继续麻省理工的线性代数课程，今天这节课没有新的内容，是一节复习课，教授以讲解例题和解答的形式对之前的内容进行回顾和复习。

Q1

令向量

u, v, w

是

\mathbb{R}^7

内的非零向量，那么请问，

u, v, w

向量生成的向量空间是几维的？

解答

这题涉及到线性代数当中对于向量空间维度的定义，维度指的是向量空间当中组成基的向量个数。由于题目当中并没有说明

u, v, w

向量之间是否线性相关，所以我们需要考虑存在线性相关和互相独立的情况。

如果存在两个向量线性相关，那么组成的向量空间的基就是2，如果三个向量都线性相关，那么组成的空间维度就是1，如果三个向量互相独立，那么空间维度就是3。由于题目当中说了向量非零，所以维度不可能是0.

故答案是1,2,3

Q2

有5 x 3的矩阵

，它的秩是3，求它的零空间？

解答

由于矩阵的秩是3，并且列数也是3，说明矩阵的三列向量线性无关，故不存在三列的线性组合等于0。所以矩阵的零空间是

\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}

Q3

接上一问，有一个10 x 3的矩阵

B = \begin{bmatrix}U \\ 2U \end{bmatrix}

，求它的化简阶梯矩阵以及秩。

解答

很明显，通过初等变换，我们可以将

转化为

\begin{bmatrix} U \\ 0 \end{bmatrix}

，它的秩和上题中的

相同，所以

rank(B) = 3

Q4

接上一问，有一个矩阵

C=\begin{bmatrix}U & U \\ U & 0 \end{bmatrix}

，求它的化简阶梯矩阵、秩和左零空间的维度。

解答

通过初等变换，我们可以如下转化：

\begin{bmatrix}U & U \\ U & 0 \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}U & U \\ 0 & -U\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}U & 0 \\ 0 & U \end{bmatrix}

转化之后就很明显了，由于

rank(U)=3

，所以

rank(C) = 6

dim N(C^T)=m-r = 10 - 6 = 4

Q5

假设

Ax = \begin{bmatrix}2 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}

，但矩阵未知。我们知道它的通解，

x = \begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}+ c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

求这个矩阵

解答

首先我们需要知道矩阵

的大小，很明显，它有三行。我们从

和

的大小可以看出，它们都有三个元素，所以

是一个3 x 3的矩阵。

接着我们来看下它的秩，它的秩是多少？

答案是1，我们可以从通解当中看出零空间的维数是2，因为我们有两个向量，并且这两个向量是线性无关的，所以秩是

n - r = 1

。

从特解中我们可以看出，矩阵

的第一列是

\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}

，我们可以令

c = 0, d= 0

就可以很容易看出来这点。接着我们从通解当中继续推导，我们观察解的第二个向量，它是

\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

，这个向量和

相乘的结果是0，所以我们可以知道矩阵

的第二列是第一列的相反数。

再通过解的第三个向量可以看出，它会取矩阵

的第三列，它和

相乘等于0，所以矩阵

的第三列等于0。所以我们可以得到完整的矩阵

A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\ 2 & -2 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ \end{bmatrix}

Q6

接上一问，如何使得

Ax = b

有解？

应该满足什么条件？

解答

要使得方程有解，即

在矩阵

的列空间当中。由于

的第一列和第二列取值相反，所以它们线性组合之后仍然是

\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}

的倍数。

所以当

是

\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}

的倍数时方程有解。

Q7

判断题，有一方阵的零空间当中只有零向量，它的左零空间也只有零向量。

解答

正确。

方阵的零空间只有零向量，说明方阵满秩。那么方阵的转置矩阵同样满秩，所以它的左零空间也只有零向量。

Q8

判断题，由所有5 x 5矩阵组成的矩阵空间，其中的可逆矩阵能否构成子空间？

解答

错误。

很明显，全为零的矩阵并不可逆，根据子空间的定义需要包含原点，所以它不能构成。除此之外，两个可逆矩阵相加之后的结果并不一定可逆，比如

和

-A

，如果

可逆，那么

-A

也可逆，但它们相加显然无法得到可逆矩阵。

Q9

如果矩阵

B^2= 0

，那么

是全零矩阵吗？

解答

错误。

反例：

\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Q10

对于n x n的矩阵，如果它们各列线性无关，是否对于任意

都能使得方程

Ax = b

有解？

解答

正确。

因为矩阵各列线性无关，说明它是满秩矩阵，也说明它可逆，所以一定有解。

Q11

有

B= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

，求

的零空间

解答

我们令

B = CD

，通过观察可以发现矩阵

是满秩矩阵，意味着可逆。对于方程

Bx = 0

而言，我们等式两边同时乘上

C^{-1}

，就可以变形为

Dx = 0

。

于是问题就转化为了求

的零空间。

我们还可以发现矩阵

的秩为2，我们选择前两列作为主元，根据之前所学的内容可以求出零空间的一组基：

\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0 \end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\1\end{bmatrix}

Q12

接上题，求

Bx = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

的通解。

解答

我们还是观察

和

两个矩阵，

矩阵的第一列恰好是

\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

，而

矩阵的第一列恰好是

\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

，表示去除

的第一列。所以我们只需要再对它们相乘的结果取第一列即可，那么可以得到特解：

\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

再加上上一题求到的零空间，我们可以写出一组通解：

x = \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\ \end{bmatrix}+ c_1\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0 \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\1\end{bmatrix}

Q13

判断题，对于任何方阵，它的行空间等于列空间吗？

解答

可以轻易举出反例，显然不成立，除非是对称矩阵才成立。

Q14

判断题，矩阵

和矩阵

-A

的四个基本子空间相同吗？

解答

正确，根据四个基本子空间的定义不难判断。

Q15

判断题，如果矩阵

和矩阵

的四个基本子空间相同，那么它们互为倍数关系吗？

解答

错误。

当

和

都为可逆矩阵时，它们的零空间和左零空间均为0向量，列空间和行空间均为

\mathbb{R}^n

Q16

如果交换矩阵

的两行，那么它的哪些子空间不变？

解答

根据定义可以判断，行空间和零空间不变。

Q17

为什么向量

v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}

不可能同时出现在矩阵的行空间和零空间中？

解答

令

A\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}

，如果矩阵

通过初等变换可以得到

\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}

，那么它和

\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}

相乘不可能得到0。因为

1^2 + 2 ^2 + 3^2 > 0

。

利用超纲的知识来解释的话就是矩阵的行空间和零空间正交，它们之间只共享零向量。

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