日拱一卒，麻省理工的线性代数课，线性代数小试牛刀……

TechFlow-承志

发布于 2022-09-21 09:55:49

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发布于 2022-09-21 09:55:49

文章被收录于专栏：TechFlow

作者 | 梁唐

出品 | 公众号：Coder梁（ID：Coder_LT）

大家好，日拱一卒，我是梁唐。

今天我们继续麻省理工的线性代数专题，这节课没有太多新知识，完全是之前学过的内容在实际应用的举例。通过今天的课程，可以进一步了解线性代数在实际当中的应用方式，对于这门课会有更深层的认识。

图和回路

上课时，老师画出了这么一张图。如果大家熟悉图论的话，对于类似的图应该非常熟悉。

我们用

来表示图的节点数，用

表示图的边数。

由于这是一张有向图，所以我们也可以用矩阵来表示。矩阵的行对应图中的一条边，起点标为-1，终点标为1，这样可以表示边的方向。一列表示的就是一个点的连接情况：

\begin{array}{c | c c c c} & node_1 & node_2 & node_3 & node_4 \\ \hline edge_1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ edge_2 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ edge_3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ edge_4 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ edge_5 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{array}

我们可以建立

5 \times 4

矩阵

A= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & -1 & 1 \ \end{bmatrix}

我们观察一下矩阵中的前三行，根据我们之前学过的知识，我们可以知道前三行向量线性相关。我们再观察一下图，前三行刚好是点1、2、3围成的闭环。在图论当中这样连通的环形结构称为回路(loop)。

从直观上我们可以获得一个推论：矩阵当中呈线性相关的若干行对应的图是一个回路。

物理意义

代入电势

接下来我们来看这个矩阵对应的零空间，也就是要求方程

Ax =0

的解。

Ax= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{bmatrix}

将其展开，可以得到：

\begin{bmatrix}x_2-x_1 \\x_3-x_2 \\x_3-x_1 \\x_4-x_1 \\x_4-x_3 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\ \end{bmatrix}

这个式子有什么意义呢？我们可以引入物理意义。我们假设

x = \begin{bmatrix} x_1, x_2, x_3, x_4\end{bmatrix}

看成是图中各个节点的电势。那么式子中的诸如

x_2 - x_1

等式子就可以看成是对应边上的电势差。

我们可以使用之前学过的方法求解，当然也可以很容易看出来，方程的一个解是

x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

。

化简

可以得到

rank(A) = 3

，所以零空间对应的维数是1，即

\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}

是方程的一组基。

那么对应的物理意义就是当各个节点电势相等的时候，对应各边的电势差为0，电流也为0。

接地

接着，我们把图中的节点4接地，此时节点4的电势为0。

A= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}

通过观察可以发现此时的

各列线性无关，

rank(A)=3

。我们再来看它的左零空间，

A^Ty = 0

，展开得到：

A^Ty=0=\begin{bmatrix}-1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\\y_4\\y_5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}

对于左零空间，我们有

dim(N(A^T))=m-r= 5-3=2

这里我们继续来看电势差，电流与电势差的关系服从欧姆定律：边上的电流是电势差的倍数，其实就是电压（电势差）除以电阻。

A^Ty=0

还有一个名字叫做基尔霍夫电流定律，简称KCL。由于我不是学电气的，所以不太熟悉，我去维基百科查询了相关词条，摘录如下：

我们来将方程列出来：

\left\{ \begin{aligned} -y_1 - y_3 - y_4 &= 0 \\ y_1 - y_2 &= 0 \\ y_2 + y_3 - y_5 &= 0 \\ y_4 + y_5 &= 0 \\ \end{aligned}\right.

我们来看下其中第一个方程：

-y_1 - y_3 - y_4 = 0

，这其实就是描述的节点1的电流情况。表明了节点1的流出和流入的电流相等，这就符合KCL第一定律。

对于

A^T

来说，我们在上文知道它零空间的维数是2，那么它的零空间将会有两个向量。现在我们假设

y_1=1

，即令1A的电流在

edge_1

上流动。由图可以看出

y_2=1

，再令

y_3=-1

，即令1A的电流流回节点1，再令

y_4 = y_5=0

这样通过KCL我们得到了一个方程组的一个解：

\begin{bmatrix}1\\1\\-1\\0\\0\end{bmatrix}

再基于同样的思路，利用节点1,3,4组成的回路来找另外一个解。令

y_1=y_2=0

，再令

y_3=1

，由图可以得到

y_5= 1

，根据KCL得到

y_4=-1

，所以得到了另外一个解：

\begin{bmatrix}0\\0\\1\\-1\\1\end{bmatrix}

这样我们就找到了

N(A^T)

的一组基。

再看图，利用节点1,2,3,4组成的大回路，令

y_3=0,y_1=1

，根据KCL可以得到

y_2=1, y_5=1, y_4=-1

同样可以得到一组解：

\begin{bmatrix}1\\1\\0\\-1\\1\end{bmatrix}

对比刚才找到的解，可以发现当前向量是之前两个向量的和。

也就是说同样的问题，我们基于线性代数和基于电路学原理得到的答案是相同的。不得不说数理化真的太多的知识是想通的了。

图论

最后，我们来看下

的行空间，即

A^T

的列空间

A^T=\begin{bmatrix}-1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}

观察一下可以发现，第三列是前两列的和，而第1,2,4列线性无关。可以发现在图中这三条边没有组成回路。这里我们可以说线性无关等价于没有回路。由4个节点与三条边组成的图没有回路，就表明

A^T

对应的列向量线性无关。没有回路的图在数据结构当中称作树。

有四个节点和三条边，我们再加上一条边必然会得到回路。

我们再看下维度公式：

dim N(A^T) = m -r

这里的维数即是相互无关的回路数量，

是边的数量，

r=n-1

，所以代入之后我们得到#loops=#edges - (#nodes - 1)。整理可以得到节点数-边数+回路数=1。

这就是图论领域大名鼎鼎的欧拉公式。

线性代数就像是穿针引线一样把这些知识点都串联在了一起，构成了应用数学的基础。本人才疏学浅，对于应用数学理解不深，建议有能力的小伙伴观看视频，体会更深。

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原始发表：2022-08-09，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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