☆打卡算法☆LeetCode 198. 打家劫舍 算法解析

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一、题目

1、算法题目

“计算在不触动报警装置的情况下，一夜之间能够偷窃的最高金额。”

题目链接：

来源：力扣（LeetCode）

链接： 198. 打家劫舍 - 力扣（LeetCode）

2、题目描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：
输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：
输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

二、解题

1、思路分析

题意是要求出最高总金额。

如果只有一间房屋，那么一间房屋就是最后总金额。

如果有两间房屋，两间房屋相邻不能同时偷窃，只能选择其中金额更高的。

然后是大于2间的话，就有可能有两种选项：

• 1、偷窃第i间房屋，就不能偷窃第i+1间房屋，偷窃总金额为i+2房间的最高总金额和第i间房屋金额之和
• 2、不偷窃第i间房屋，偷窃总金额为i+1间房屋的最高总金额

那么寻找最高总金额的问题就可以分成几个子问题，也就是上面说的两种选项。

然后确定子问题的递归关系，确定动态规划数组的计算顺序。

用dp[i]表示前i间房屋能够窃取的最高总金额，那么就有如下的状态转移方程：

dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i] , dp[i - 1])

边界条件为：

dp[0] = nums[0] 只有一间房屋 dp[1] = max(nums[0],nums[1]) 只有两间房屋，选择其中较大金额

最终答案为dp[n-1]，其中n是数组的长度。

2、代码实现

代码参考：

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        int length = nums.length;
        if (length == 1) {
            return nums[0];
        }
        int first = nums[0], second = Math.max(nums[0], nums[1]);
        for (int i = 2; i < length; i++) {
            int temp = second;
            second = Math.max(first + nums[i], second);
            first = temp;
        }
        return second;
    }
}

image.png

3、时间复杂度

时间复杂度：O(n)

其中n是数组的的长度，数组只需要遍历一次。

空间复杂度：O(1)

只需要常量级的变量空间。

三、总结

在确定了子问题的递推关系之后，下一步就是依次计算出这些子问题了。

在很多教程中都会写，动态规划有两种计算顺序，一种是自顶向下的、使用备忘录的递归方法，一种是自底向上的、使用 dp 数组的循环方法。

不过在普通的动态规划题目中，99% 的情况我们都不需要用到备忘录方法，所以我们最好坚持用自底向上的 dp 数组。