共轭函数_复共轭函数

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

定义

设函数

共轭函数_复共轭函数

，定义函数

共轭函数_复共轭函数

为

共轭函数_复共轭函数

此函数称为函数f的共轭函数，使上述上确界有限，即差值

共轭函数_复共轭函数

在dom f有上界的所有

共轭函数_复共轭函数

构成了共轭函数的定义域，下图描述了此定义（图中y即为公式中的t）。

共轭函数_复共轭函数

xy相当于是以y为斜率且过原点的一根直线，需要找到原函数f(x)和以y为斜率的直线的最大距离点对应的x

函数

共轭函数_复共轭函数

以及某一

共轭函数_复共轭函数

，共轭函数

共轭函数_复共轭函数

是线性函数yx和f(x)之间的最大差值（上图中虚线），如果f可微，在满足

共轭函数_复共轭函数

的点x处差值最大（当对xy-f(x)对x的偏导等于0时，取得最大值）。

性质

函数的共轭一定为凸

解释：

如下图穷举所有的x，看当t固定时，那个x可以使得

共轭函数_复共轭函数

最大

共轭函数_复共轭函数

为了更清楚表述，将

共轭函数_复共轭函数

画出来，当带入不同的x进入时，就表示不同的直线，在给定某一个t时，选择最大的哪一个。通过选择不同的t得到如下图像中红色曲线部分，可以看出红色曲线是凸的

共轭函数_复共轭函数

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