康托三分集

Cantor三分集是由德国数学家康托(G.Cantor)于1883年引入的，下面以一道趣味题引入康托三分集，题目内容如下:

将区间 [0,1] 平均分为3段，挖去中间的一段，即去掉 ( 1/3 , 2/3 ) ，然后将剩下的两段同样各自挖去中间1/3 。这样无限挖下去，问区间中[ 0 , 1 ] 中是否有永远不被挖掉的点？如果有，这些点的坐标有什么规律？

这道题目还记得应该是大学的拓扑学和实变函数中提到，作为无处稠密的完备集的一般例子。针对这个问题，本文只想用简单的方法去说明问题，比如三进制方法，分析过程如下：

首先用三进制数表示[0,1]间的小数，并将其画在数轴上。你会发现第一次其实是挖掉了所有小数点后第1位为1的所有数，而第二次则是挖掉了小数点后第2位为1的所有数，按此类推。实质上就是挖去了三进制表示法中所有含有数位1的数。因此剩余的数就是[0,1]区间上三进制表示法中不包含1的所有数的集合。这个集合就是所谓的康拓三分集。

有趣的是：康拓三分集中元素的个数实质上是跟区间[0,1]上的实数个数是一样多的（严格的表述应该是“等势”）！若集合A与集合B的元素可以建立一种“一一对应”关系，则我们说A与B“等势”。例如：偶数集E跟自然数集N是等势的，因为对于偶数集中的任何一个数a，都可以在自然数集中找到一个数a/2与之相对应，反之也成立。

下面来简单证明康拓三分集跟[0,1]区间是等势的。

首先用二进制表示法来表示[0,1]区间中的小数。然后将数位中所有“1”变为“2”，这样在数位上就跟康拓三分集中的一个数完全一致了。反过来，将康拓三分集中的任一个数（二进制表示）中的全部“2”变为“1”，就唯一的对应[0,1]区间的一个二进制小数。因此，康拓三分集与[0,1]可以建立一一对应关系，因而是等势的。

整体= 部分。 很神奇吧？一旦到了无穷的领域就会出现很多有趣的东西，例如，你可以证明一小段线段跟一条直线上的点是等势的，完全平方数集合跟自然集是等势的等等。