数论 欧拉函数_数论欧拉函数
欧拉函数：
就是对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。
欧拉函数的通式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn)
其中p1, p2……pn为n的所有质因数，n是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
在这里插入图片描述
所以，根据通式我们可以打出以下代码：
ll eular(ll n)
{
ll ans = n;
for(int i=2; i*i <= n; ++i)
{
if(n%i == 0)
{
ans = ans/i*(i-1);
while(n%i == 0)
n/=i;
}
}
if(n > 1) ans = ans/n*(n-1);
return ans;
}其中，if(n>1)ans-=ans/n; 这个语句是为了保证我们已经除完了n的所有的素因子，有可能还会出现一个我们未除的因子，如果结尾出现n>1 ,说明我们还剩一个素因子木有除。
打表求欧拉函数：
听说这样比较快。。。。
void euler()
{
for(int i=2;i<maxn;i++){
if(!E[i])
for(int j=i;j<maxn;j+=i){
if(!E[j])E[j]=j;
E[j]=E[j]/i*(i-1);
}
}
}当然，还有百度百科版的：( 欧拉筛素数同时求欧拉函数)
在这里插入图片描述
void get_phi()
{
int i, j, k;
k = 0;
for(i = 2; i < maxn; i++)
{
if(is_prime[i] == false)
{
prime[k++] = i;
phi[i] = i-1;
}
for(j = 0; j<k && i*prime[j]<maxn; j++)
{
is_prime[ i*prime[j] ] = true;
if(i%prime[j] == 0)
{
phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * prime[j];
break;
}
else
{
phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * (prime[j]-1);
}
}
}
} 欧拉函数的一些性质： ① 当m,n互质时，有phi（m*n）= phi（m）*phi（n）；
② 若i%p==0，有phi（i*p） = p * phi(i)；
③ 对于互质x与p，有x^phi§≡1（mod p),因此x的逆元为x^(phi§-1)，即欧拉定理。 （特别地，当p为质数时，phi（p）=p-1,此时逆元为x^(p-2)，即费马小定理）
④ 当n为奇数时，phi(2n)=phi(n)
⑤ 若x与p互质，则p-x也与p互质，因此小于p且与p互质的数之和为phi(x)*x/2;
⑥N>1，不大于N且和N互素的所有正整数的和是 1/2 *N *eular(N)。
⑦若(N%a == 0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
⑧若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);
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