数学建模中的选址问题_数学建模停车场规划问题

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

文章目录

• 选址问题
• • 四个要素
  • • • 设施
      • 规划区域
      • 位置（距离）
      • 目标：
  • 三大问题：
  • • • 1.P中值问题 P-Median Problem
      • 2.P中心问题 P-Center Problem
      • 3.覆盖问题 Covering Problem
      • • （1）集覆盖问题
        • （2）最大覆盖问题

选址问题

是指在规划区域里选择一个或多个设施的位置，使得目标最优。

四个要素

设施、规划区域、位置（距离）、目标

设施

按照 设施的 空间维度 划分，可以将选址问题分为： 1.立体选址问题：设施的高度不能被忽略，如集装箱装箱问题。 2.平面选址问题：设施的长、宽不能被忽略，如货运站的仓位布局问题。 3.线选址问题：设施的宽度不能被忽略，如在仓库两边的传送带布局问题。 4.点选址问题：设施可以被简化为一个点，绝大多数时候我们遇到的都是这类问题。

按照设施的 规划数量 划分，可以将选址问题分为： 1.单设施选址 2.多设施选址

规划区域

按照规划区域的结构划分，可以将选址问题分为： 1.连续选址问题：设施可以在给定范围的任意位置选址，设施的候选位置为无穷多。 2.离散选址问题：设施的候选位置是有限且较少的，实际中最常遇到这类问题。 3.网格选址问题：规划区域被划分为许多的小单元，每个设施占据其中有限个单元。

位置（距离）

按照设施与需求点位置的关系，可以将所要获取的距离分为： 1.间接距离： 有向赋权图：Dijkstra算法和Floyed算法 两种算法的代码链接 2.直接距离： （1）两点间距离公式 （2）Lp距离计算方式如下：d = (Σ(x1i-x2i)p)1/p

p=1时：L1范式，又称曼哈顿距离，在二维平面上 d=|x1-x2|+|y1-y2|。假设在曼哈顿街区乘坐出租车从 P 点到 Q 点，白色表示高楼大厦，灰色表示街道，则下图中红线、蓝线、黄线的行驶距离都是一样的，都是曼哈顿距离。

在这里插入图片描述

p=2：L2范式，又称欧氏距离，定义于欧几里得空间中，是最常见的距离度量方式，在二维平面上 d=((x1-x2)2+(y1-y2)2)1/2，即两点间的直线距离，上图中的绿线。

p=∞：切比雪夫距离（Chebyshev distance），在二维平面上 d=max(|x1-x2|, |y1-y2|)。玩过国际象棋的都知道，国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个位置，那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少的步数就是切比雪夫距离。可以试试看，下图已经标注国王到达任意位置所需要的步数。

在这里插入图片描述

目标：

1.单目标选址问题 2.多目标选址问题：实际的问题往往都是多目标规划问题，比如既想距离尽可能短，又想要费用尽可能少

三大问题：

1.P中值问题 P-Median Problem

研究：在备选设施集合里，如何选择p个设施，使所有需求点得到服务，并且需求点到其最近设施的加权距离总和最小。

这是一个MinSum问题，可由以下整数规划模型表示：

在这里插入图片描述

应用场景：在物流领域应用得非常广泛，加权距离代表了运输成本，目标是总成本最少。

2.P中心问题 P-Center Problem

研究：在备选设施集合里，如何选择p个设施，使所有需求点得到服务，并且每个需求点到其最近设施的最大距离最小。

这是一个MinMax问题，可由以下整数规划模型表示（符号说明与上面类似）：

在这里插入图片描述

应用场景：应急设施的选址，比如警局、消防局、医院，要求尽可能快地到达任意位置。

3.覆盖问题 Covering Problem

覆盖问题分为最大覆盖问题和集覆盖问题两类。

（1）集覆盖问题

研究：在备选设施集合里，已知每个设施的服务范围，如何选择设施，使所有需求点得到服务，并且设施数p最小或成本最小。

在这里插入图片描述

（2）最大覆盖问题

研究：在备选设施集合里，已知每个设施的服务范围，如何选择p个设施，使得服务的需求点数最多或需求量最大。 应用场景：追求覆盖面的场景，比如移动基站的选址、物流中心的选址。

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