特征值和特征向量

特征值和特征向量是矩阵的重要性质，本文记录相关内容。 我们知道，矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。 实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。 关于特征值和特征向量，这里请注意两个亮点。这两个亮点一个是线性不变量的含义，二个是振动的谱含义。

——《线性代数的几何意义》

定义

• 对于一个给定的方阵 {\displaystyle A}，定义它的特征向量（eigenvector，也译固有向量、本征向量）为非零向量{\displaystyle v} ，v 经过这个线性变换{\displaystyle A}之后，得到的新向量仍然与原来的 {\displaystyle v} 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变，公式表示为：

• \lambda 为标量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称 {\displaystyle \lambda } 为方阵 A (或线性变换 A) 的特征值（eigenvalue，也译固有值、本征值）。
• 解得的 {\displaystyle \lambda } 可能为重根，那么这个根重复的次数为 {\displaystyle \lambda } 的代数重数。

如果特征值为正，则表示 {\displaystyle v} 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。

• 特征值 \lambda 解得的所有非零向量 v 均可称为 A 的特征向量，可以看作是关于系数 {\displaystyle \lambda } 的方程的非零解：

• 矩阵的特征向量不是固定的，特征值 {\displaystyle \lambda } 对应的所有特征向量和零向量一起可以组成一个向量空间，这个空间称为 A 的一个特征空间。
• 这个特征空间如果是有限维的，那么它的维数叫做 {\displaystyle \lambda } 的几何重数。
• 模最大的特征值对应的特征向量为 {\displaystyle A} 的主特征向量。
• 有限维向量空间上的一个变换 {\displaystyle A} 的所有特征值的集合称为 A 的谱。

计算特征值/特征向量

• \mathbf {A} 的特征向量 {\displaystyle \mathbf {x} } ，按照定义，是在变换 {\displaystyle \mathbf {A} }的作用下会得到\mathbf {x} 自身的若干倍的非零向量。假设在 {\displaystyle \mathbf {A} }的作用下{\displaystyle \mathbf {x} } 变成了自身的 {\displaystyle \lambda }，也就是

• 在等式两边的左侧乘以单位矩阵 I，得到:

$$ \begin{array} \mathbf{I A} \mathbf{x}=\mathbf{I} \cdot \lambda \mathbf{x} \\ \mathbf{A} \mathbf{x}=(\lambda I) \mathbf{x} \end{array} $$

• 因此

• 根据线性方程组理论，为了使这个方程有非零解，矩阵 {\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} }的行列式必须是零：

• 按照行列式的展开定义，上面式子的左端是一个关于 {\displaystyle \lambda } 的多项式，称为特征多项式。这个多项式的系数只和 {\displaystyle \mathbf {A} } 有关。
• 若A 是一个 n×n 矩阵，则 {\displaystyle p_{A}} 为 n 次多项式，因而 A 最多有 n 个特征值。
• 如果A的系数是在一个代数闭域里面（比如说复数域），那么代数基本定理说明这个方程刚好有 n 个根（如果重根也计算在内的话）。
• 所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此当 n 为奇数的时候，每个n维实系数矩阵至少有一个实数特征值。当矩阵系数是实数的时候，非实数的特征值会成共轭对出现。
• 一旦找到特征值λ，相应的特征向量就可以通过求解如下方程得到：

特点

1. 实系数的矩阵不一定有实数特征值

• 考虑矩阵：

$$ \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right] $$

1. 对于 n\times n 的矩阵 A 来说，复数域上特征值的代数重数的和为 n，几何重数小于等于代数重数

• 考虑矩阵：

$$ A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] $$

• 它只有一个特征值，也就是 λ = 1。
• 其特征多项式是 (\lambda-1)^2，所以这个特征值代数重次为2。
• 但是，相应特征空间是通常称为 x 轴的数轴，由向量 \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} 线性生成，所以几何重数是1。
• 该矩阵无法进行特征分解，即找不到 2 个正交的特征向量

1. 一个 n×n 矩阵如果有 n不同特征值，则总是可以对角化的。
2. 因为迹，也就是矩阵主对角线元素之和，在酉等价下不变，若尔当标准型说明它等于所有特征值之和。
3. 对于实对称矩阵或埃尔米特矩阵来说，不同特征值对应的特征向量必定正交（相互垂直）

参考资料

• https://zh.m.wikipedia.org/zh-cn/特征值和特征向量#特征值方程