待定系数法求分式最值

题目

今天做圆锥曲线，一道题目的最后一步是求这个式子的最小值：

配套答案也是直接一步不等号就把 k 消没了，我花了半天研究怎么才能把 k 给消掉。

均值不等式

由几何平均数小于算术平均数，我们可以推出下列式子

并且仅当 a=b时不等号取等。根据这个式子，我们可以进行下一步操作。

待定系数法

所谓待定系数，就是看谁可以使分母的两个因式相加起来等于

，之后就可以上下约掉了。我们待定两个系数

把原式变形为下列式子：

分母两个因式相加就是：

我们令这个式子恒等于

，就有：

解得

，所以反过来看我们原来的题目：

它的取等条件是变形后的分母两个因式相等，即

时取等。