信号处理(四)

本篇介绍

本篇介绍下采样背后的理论，也是信号处理的最后一部分。

傅立叶变换

任何一个函数都可以由一系列正弦波的叠加表示，比如盒子函数对应的傅立叶函数形式如下：

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如果原始函数是周期函数，那么正弦函数的周期就是原始函数周期的整数倍。 原始函数如果是非周期的也没关系，可以看成周期是无限大。这时候盒子函数也可以表示成如下形式：

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由傅立叶函数也可以倒推出原始函数，也叫傅里叶逆变换：

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傅立叶也可以从复数形式表示：

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傅立叶变换的性质

• 原始函数和傅立叶函数的平方积分是一样的，简单解释就是能量守恒：

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• 用F表示傅立叶变换，那么还有如下性质：

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• 还有一个性质，原始函数在时域轴放大b倍，对应的傅立叶变换在频域就需要缩小b倍：

image.png 频域在外部乘了一个b，是为了保持能量守恒。 有了上述几个性质，我们就可以快速知道某个函数的傅立叶函数，比如某个函数就可以看成是一系列缩放和扩张的结果。

• 原始函数的平均值等于F{f}(0),也就是傅立叶变换在频域等于0时候的值。
• 如果原始函数是实函数，对应的傅立叶函数就是偶函数，如果原始函数是偶函数，对应的傅立叶函数就是实函数

卷积和傅立叶变换

卷积和傅立叶的关系可以用2个优雅的公式表示：

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时域的卷积傅立叶等于频域的乘积 频域的卷积等于时域乘积的傅立叶

这样就将傅立叶和采样联系起来了，卷积用于采样，而傅立叶又是频域，这样他们的关系可以用下图表示：

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有了上述结论，就可以看明白下图了：

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值的注意的是高斯的傅立叶还是高斯。

采样定理中的脉冲函数

脉冲函数可以看成是定点采样，如果要实现每隔T采样一次，就需要一系列脉冲函数，可以表示成如下：

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可以看出脉冲序列对应的傅立叶也是脉冲序列。

采样与走样

接下来我们用频域看下采样和重建。如果没有卷积，那采样过程就是原始信号乘以一个脉冲序列，在频域就可以表示成原始信号和脉冲序列各自傅立叶的卷积：

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现在就可以看出来，如果原始信号频率是采样频率的整数倍，那么采样结果是完全区分不出来的，因为采样的结果序列是一样的。这时候会有2个地方出现走样，一个是采样的时候，会出现信号重叠，一个是重建的时候，又会在原始信号上加上一些走样信号。比如用盒子滤波器重建，实际上就是原始信号的傅里叶和盒子信号傅立叶的乘积，由于盒子滤波器也有其他信号的频谱，因此也会将其他信号的频率加上。 该过程可以参考下图：

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采样率越高，实际上就把频域信号周期放大了：

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采样时候的卷积滤波实际上就是起一个低通滤波器的作用，过滤掉高频信号了，这样频域信号的频谱就变窄了，不容易重叠了，如下图所示：

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这儿有一个著名的采样定律，那就是内奎斯特-香农采样定理(Nyquist-Shannon sampling theorem)，采样的频率需要高于原始信号最高频率的2倍。 重采样时候的滤波就是为了保护原始信号周期内的信号，弱化原始信号整数倍频率的信号，从盒子信号频域的波形就可以看出它有这样的能力，帐篷滤波器，B样条都可以起到同样的作用，效果如下：

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现在再从频域整体看下原始信号，重采样，重建信号的关系：

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实际上，高斯滤波器用的最多，效果最好。