「数据结构与算法」手撕平衡二叉树

愿天堂没有BUG

发布于 2022-10-28 11:33:28

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发布于 2022-10-28 11:33:28

文章被收录于专栏：愿天堂没有BUG（公众号同名）

平衡二叉树

定义

动机：二叉查找树的操作实践复杂度由树高度决定，所以希望控制树高，左右子树尽可能平衡。
平衡二叉树（AVL树）：称一棵二叉查找树为高度平衡树，当且仅当或由单一外结点组成，或由两个子树形 Ta 和 Tb 组成，并且满足：
- |h(Ta) - h(Tb)| <= 1，其中 h(T) 表示树 T 的高度
- Ta 和 Tb 都是高度平衡树

即：每个结点的左子树和右子树的高度最多差 1 的二叉查找树。

设 T 为高度平衡树中结点 q 的平衡系数为 q 的右子树高度减去左子树高度
高度平衡树所以结点的平衡系数只可能为：-1, 0, 1

结点结构

1️⃣ key：关键字的值 2️⃣ value：关键字的存储信息 3️⃣ height：树的高度（只有一个结点的树的高度为 1） 4️⃣ left：左子树根结点的的引用 5️⃣ right：右子树根结点的引用

复制代码JAVAclass AVLNode<K extends Comparable<K>, V> {    public K key;    public V value;    public int height;    public AVLNode<K, V> left;    public AVLNode<K, V> right;    public AVLNode(K key, V value, int height) {        this.key = key;        this.value = value;        this.height = height;
    }
}

查找算法

同二叉查找树的查找算法：【数据结构与算法】手撕二叉查找树

插入算法

AVL 树是一种二叉查找树，故可以使用二叉查找树的插入方法插入结点，但插入一个新结点时，有可能破坏 AVL 树的平衡性。

如果发生这种情况，就需要在插入结点后对平衡树进行调整，恢复平衡的性质。实现这种调整的操作称为“旋转”。

在插入一个新结点 X 后，应调整失去平衡的最小子树，即从插入点到根的路径向上找第一个不平衡结点 A。

平衡因子：该结点的左子树高度和右子树高度的差值。如果差值的绝对值小于等于 1，则说明该结点平衡，如果差值的绝对值为 2（不会出现其他情况），则说明该结点不平衡，需要做平衡处理。

造成结点 A 不平衡的的原因以及调整方式有以下几种情况。

LL 型

A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点左子结点的左子结点，所以为 LL 型。

扁担原理：右旋

将 A 的左孩子 B 提升为新的根结点；
将原来的根结点 A 降为 B 的右孩子；
各子树按大小关系连接(BL 和 AR 不变，BR 调整为 A 的左子树)。
高度调整：由于调整后 B 的高度依赖于 A 的高度，所以先更新 A 的高度，再更新 B 的高度。

复制代码12345678JAVA    private AVLNode<K, V> rightRotate(AVLNode<K, V> a) {        AVLNode<K, V> b = a.left;
        a.left = b.right;
        b.right = a;
        a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + ;
        b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.left)) + ;        return b;
    }

RR 型

A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点右子结点的右子结点，所以为 RR 型。

扁担原理：左旋

将 A 的右孩子 B 提升为新的根结点；
将原来的根结点 A 降为 B 的左孩子；
各子树按大小关系连接(AL 和 BR 不变，BL 调整为 A 的右子树)。
高度调整：由于调整后 B 的高度依赖于 A 的高度，所以先更新 A 的高度，再更新 B 的高度。

复制代码12345678JAVA    private AVLNode<K, V> leftRotate(AVLNode<K, V> a) {        AVLNode<K, V> b = a.right;
        a.right = b.left;
        b.left = a;
        a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + ;
        b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.left)) + ;        return b;
    }

LR 型

A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点左子结点的右子结点，所以为 LR 型。

从旋转的角度：对 B 左旋，然后对 A 右旋
将 B 的左孩子 C 提升为新的根结点；
将原来的根结点 A 降为 C 的右孩子；
各子树按大小关系连接(BL 和 AR 不变，CL 和 CR 分别调整为 B 的右子树和 A 的左子树)。

复制代码1234JAVA    private AVLNode<K, V> leftRightRotate(AVLNode<K, V> a) {
        a.left = leftRotate(a.left);   // 对 B 左旋
        return rightRotate(a);         // 对 A 右旋
    }

RL 型

A 结点的平衡因子为 2，说明该结点是最小不平衡结点，需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点右子结点的左子结点，所以为 RL 型。

从旋转的角度：对 B 右旋，然后对 A 左旋
将 B 的左孩子 C 提升为新的根结点；
将原来的根结点 A 降为 C 的左孩子；
各子树按大小关系连接(AL 和 BR 不变，CL 和 CR 分别调整为 A 的右子树和 B 的左子树)。

复制代码1234JAVA    private AVLNode<K, V> rightLeftRotate(AVLNode<K, V> a) {
        a.right = rightRotate(a.right);        return leftRotate(a);
    }

插入方法

根结点默认高度为 1
某结点的左右子树高度差的绝对值为 2，则需要进行平衡处理
- 左子树高
  - key 小于 root.left.key：LL型，进行右旋
  - key 大于 root.left.key：LR型，进行左右旋
- 右子树高
  - key 大于 root.right.key：RR型，进行左旋
  - key 小于 root.right.key：RR型，进行右左旋

复制代码123456789101112131415161718192021222324252627282930313233JAVA    public void insert(K key, V value) {
        root = insert(root, key, value);
    }    private AVLNode<K, V> insert(AVLNode<K, V> t, K key, V value) {        if (t == null) {            return new AVLNode<>(key, value, );
        } else if (key.compareTo(t.key) < ) {
            t.left = insert(t.left, key, value);
            t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + ;            // 平衡因子判断
            if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == ) {                if (key.compareTo(root.left.key) < ) // 左左：右旋
                    t = rightRotate(t);                else                                 // 左右：先左旋，再右旋
                    t = leftRightRotate(t);
            }
        } else if (key.compareTo(t.key) > ) {
            t.right = insert(t.right, key, value);
            t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + ;            // 平衡因子判断
            if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == -) {                if (key.compareTo(root.right.key) > ) // 右右：左旋
                    t = leftRotate(t);                else                                  // 右左：先右旋，再左旋
                    t = rightLeftRotate(t);
            }
        } else {
            t.value = value;
        }        return t;
    }

删除算法

概述

可采用二叉查找树的删除算法进行删除。【数据结构与算法】手撕二叉查找树
删除某结点 X 后，沿从 X 到根节点的路径上考察沿途结点的平衡系数，若第一个不平衡点为 A，平衡以 A 为根的子树。
平衡后，可能使子树 A 高度变小。这样可能导致 A 的父节点不满足平衡性。
所以要继续向上考察结点的平衡性，最远可能至根结点，即最多需要做 O(logn) 次旋转。
对比“插入”操作：平衡 A 后，子树高度不变，A 子树以外的结点不受影响，即插入最多涉及 O(1) 次旋转。

实例分析

下面举个删除的例子：

删除以下平衡二叉树中的 16 结点

1️⃣ 16 为叶子，将其删除即可，如下图。

2️⃣ 指针 g 指向实际被删除节点 16 之父 25，检查是否失衡，25 节点失衡，用 g 、u 、v 记录失衡三代节点（从失衡节点沿着高度大的子树向下找三代），判断为 RL 型，进行 RL 旋转调整平衡，如下图所示。

3️⃣ 继续向上检查，指针 g 指向 g 的双亲 69，检查是否失衡，69 节点失衡，用 g 、u 、v 记录失衡三代节点，判断为 RR 型，进行 RR 旋转调整平衡，如下图所示。

代码

代码描述：

若当前结点为空，则返回该节点
若关键值小于当前结点的关键值，则递归处理该结点的左子树
若关键值大于当前结点的关键值，则递归处理该结点的右子树
若关键值等于当前结点的关键值
- 若当前结点的左子树为空，则返回该结点的右子树根节点
- 若当前结点的右子树为空，则返回该结点的左子树根节点
- 若当前结点左右子树都不为空，则找到该结点的中序前驱结点（该结点左子树的最右结点）或中序后继结点（该结点右子树的最左结点），将其值赋予该结点，然后递归删除中序前驱或后继结点。
更新结点高度
若该结点左子树高度更高，且处于不平衡状态
- 若为 LL 型，进行右旋
- 若为 LR 型，先左旋，再右旋
若该结点右子树高度更高，且处于不平衡状态
- 若为 RL 型，先右旋，再左旋
- 若我 RR 型，进行左旋
返回该结点

复制代码1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344JAVA    public void remove(K key) {
        this.root = delete(root, key);
    }    public AVLNode<K, V> delete(AVLNode<K, V> t, K key) {        if (t == null) return t;        if (key.compareTo(t.key) < ) {
            t.left = delete(t.left, key);
        }        else if (key.compareTo(t.key) > ) {
            t.right = delete(t.right, key);
        }        else {            if(t.left == null) return t.right;            else if(t.right == null) return t.left;            else {         // t.left != null && t.right != null
                AVLNode<K, V> pre = t.left;                while (pre.right != null) {
                    pre = pre.right;
                }
                t.key = pre.key;
                t.value = pre.value;
                t.left = delete(t.left, t.key);
            }
        }        if (t == null) return t;
        t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + ;        if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) >= ) {            if(getHeight(t.left.left) > getHeight(t.left.right)) {                return rightRotate(t);
            } else {                return leftRightRotate(t);
            }
        }        else if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) <= -) {            if(getHeight(t.right.left) > getHeight(t.right.right)) {                return rightLeftRotate(t);
            }            else {                return leftRotate(t);
            }
        }        return t;
    }

完整代码

复制代码123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171JAVAclass AVLNode<K extends Comparable<K>, V> {    public K key;    public V value;    public int height;    public AVLNode<K, V> left;    public AVLNode<K, V> right;    public AVLNode(K key, V value, int height) {
        this.key = key;
        this.value = value;
        this.height = height;
    }
}class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {    public AVLNode<K, V> root;    public int getHeight(AVLNode<K, V> t) {        return t == null ?  : t.height;
    }    public void insert(K key, V value) {
        root = insert(root, key, value);
    }    public void remove(K key) {
        this.root = delete(root, key);
    }    public AVLNode<K, V> delete(AVLNode<K, V> t, K key) {        if (t == null) return t;        if (key.compareTo(t.key) < ) {
            t.left = delete(t.left, key);
        }        else if (key.compareTo(t.key) > ) {
            t.right = delete(t.right, key);
        }        else {            if(t.left == null) return t.right;            else if(t.right == null) return t.left;            else {         // t.left != null && t.right != null
                AVLNode<K, V> pre = t.left;                while (pre.right != null) {
                    pre = pre.right;
                }
                t.key = pre.key;
                t.value = pre.value;
                t.left = delete(t.left, t.key);
            }
        }        if (t == null) return t;
        t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + ;        if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) >= ) {            if(getHeight(t.left.left) > getHeight(t.left.right)) {                return rightRotate(t);
            } else {                return leftRightRotate(t);
            }
        }        else if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) <= -) {            if(getHeight(t.right.left) > getHeight(t.right.right)) {                return rightLeftRotate(t);
            }            else {                return leftRotate(t);
            }
        }        return t;
    }    private AVLNode<K, V> insert(AVLNode<K, V> t, K key, V value) {        if (t == null) {            return new AVLNode<>(key, value, );
        }        if (key.compareTo(t.key) < ) {
            t.left = insert(t.left, key, value);            // 平衡因子判断
            if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == ) {                if (key.compareTo(t.left.key) < ) // 左左：右旋
                    t = rightRotate(t);                else                                  // 左右：先左旋，再右旋
                    t = leftRightRotate(t);
            }
        } else if (key.compareTo(t.key) > ) {
            t.right = insert(t.right, key, value);            // 平衡因子判断
            if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == -) {                if (key.compareTo(t.right.key) > ) // 右右：左旋
                    t = leftRotate(t);                else                                   // 右左：先右旋，再左旋
                    t = rightLeftRotate(t);
            }
        } else {
            t.value = value;
        }
        t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + ;        return t;
    }    private AVLNode<K, V> rightLeftRotate(AVLNode<K, V> a) {
        a.right = rightRotate(a.right);        return leftRotate(a);
    }    private AVLNode<K, V> leftRightRotate(AVLNode<K, V> a) {
        a.left = leftRotate(a.left);        return rightRotate(a);
    }    private AVLNode<K, V> leftRotate(AVLNode<K, V> a) {        AVLNode<K, V> b = a.right;
        a.right = b.left;
        b.left = a;
        a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + ;
        b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.right)) + ;        return b;
    }    private AVLNode<K, V> rightRotate(AVLNode<K, V> a) {        AVLNode<K, V> b = a.left;
        a.left = b.right;
        b.right = a;
        a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + ;
        b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.right)) + ;        return b;
    }    private void inorder(AVLNode<K, V> root) {        if (root != null) {
            inorder(root.left);            System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") ");
            inorder(root.right);
        }
    }    private void preorder(AVLNode<K, V> root) {        if (root != null) {            System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") ");
            preorder(root.left);
            preorder(root.right);
        }
    }    private void postorder(AVLNode<K, V> root) {        if (root != null) {
            postorder(root.left);
            postorder(root.right);            System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") ");
        }
    }    public void postorderTraverse() {        System.out.print("后序遍历：");
        postorder(root);        System.out.println();
    }    public void preorderTraverse() {        System.out.print("先序遍历：");
        preorder(root);        System.out.println();
    }    public void inorderTraverse() {        System.out.print("中序遍历：");
        inorder(root);        System.out.println();
    }
}

方法测试

复制代码JAVA    public static void main(String[] args) {
        AVLTree<Integer, Integer> tree = new AVLTree<>();
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );
        tree.insert(, );

        tree.remove();
        tree.preorderTraverse();
        tree.inorderTraverse();
        tree.postorderTraverse();
    }

输出

复制代码123JAVA先序遍历：(key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) 中序遍历：(key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) 后序遍历：(key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: ) (key:  , value:  , height: )

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