在很早之前,我曾经发过一篇文章,讲的是冒泡排序的交换次数就是逆序数。可是,这样计算逆序数的话,时间成本就很高,比较冒泡是时间复杂度为O(N²)的算法呢!那怎么办呢?其实,我们可以使用归并排序的思想来计算逆序数。
(以下内容需要先了解归并排序,具体讲解可以看我的这一篇文章:)
我们会发现,在进行升序的归并排序时,每一次后方元素移到前面来的移动距离就是本次操作的逆序数。那么我们思考之后可以得出,每一步操作的逆序数就是n1-i
具体得看下面这个图:
由于每一层递归结束之后,左右两边都变成了已经升序排序的数组,那么自然地,当右边的元素小于左边元素的时候,把它移到前面的逆序数就是n1-i
#include<iostream>
using namespace std;
unsigned int L[100002],R[100002];
unsigned int num[200002];
unsigned long long nixushu=0;
void _Merge(int left, int mid, int right)
{
int n1 = mid-left;
int n2 = right-mid;
for(int i=0;i<n1;i++)
L[i] = num[left+i];
for(int i=0;i<n2;i++)
R[i] = num[mid+i];
L[n1]=R[n2]=1000000003;
int js1=0,js2=0;
for(int i=left;i<right;i++)
{
if(L[js1]<=R[js2])
{
num[i] = L[js1];
js1++;
}
else
{
num[i] = R[js2];
js2++;
nixushu += n1-js1;
}
}
}
void mergeSort(int left, int right)
{
if(left+1>=right)
return;
int mid = (left+right)/2;
mergeSort(left,mid);
mergeSort(mid,right);
_Merge(left, mid, right);
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>num[i];
mergeSort(0,n);
cout<<nixushu<<endl;
}
因此,我们需要关注的关键问题就是合并函数的实现。经过上面的分析,我们可以知道,我们只需要在归并排序的合并函数里面,负责处理L[js1]>R[js2]的那部分代码里面做一些修改,就可以实现计算逆序数的目的。