拉格朗日插值公式详解[通俗易懂]

一．线性插值(一次插值） 已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。

1. 插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知：

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把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:

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记

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并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：

拉格朗日插值公式详解[通俗易懂]

从而 P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)

此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .

例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。

解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设 x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010 则插值基函数为：

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于是, 拉格朗日型一次插值多项式为:

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故 :

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即lg12 由lg10和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).

二．二次插值多项式 已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个次数不超过二次的多项式P2(x), 使其满足,

P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 .

其几何意义为:已知平面上的三个点 (xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),

求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点。 1.插值基本多项式 有三个插值结点xk-1 ,xk ,xk+1 构造三个插值基本多项式，要求满足：

(1) 基本多项式为二次多项式； (2) 它们的函数值满足下表：

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因为lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其已经是一个二次多项式, 仅相差一个常数倍, 可设 lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ), 又因为 lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1 得

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从而

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同理得

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基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”)。

2. 拉格朗日型二次插值多项式 由前述, 拉格朗日型二次插值多项式: P2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),P2 (x) 是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足: P2 (xi )=yi , (i=k-1,k,k+1) 。 例2 已知： xi 10 15 20

yi=lgxi 1 1.1761 1.3010

利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。 解：设x0 =10,x1 =15,x2 =20,则:

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故:

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所以

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7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。

三、拉格朗日型n次插值多项式 已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0 ,x1 ,…,x2 上的函数值分别为

y0 ,y1 ,…,yn ,求一个次数不超过n的多项式Pn (x),使其满足:

Pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),

即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。 1. 插值基函数 过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数 l0 (x),l1 (x),…,ln (X) 每个插值基本多项式li (x)满足：

(1) li (x)是n次多项式;

(2) li (xi )=1,而在其它n个li (xk )=0 ,(k≠i)。

由于li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:

(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )

因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令: li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )

由li (xi )=1,可以定出a, 进而得到：

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2.n次拉格朗日型插值多项式Pn (x)

Pn (x)是n+1个n次插值基本多项式l0 (x),l1 (x),…,ln (X)的线性组合,相应的组合系数是y0 ,y1 ,…,yn。即:

Pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x),

从而Pn (x)是一个次数不超过n的多项式,且满足

Pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).

例3 求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。 解 用4次插值多项式对5个点插值。

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所以

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四、拉格朗日插值多项式的截断误差 我们在[a,b]上用多项式Pn (x) 来近似代替函数f(x), 其截断误差记作 Rn (x)=f(x)-Pn (x) 当x在插值结点xi 上时Rn (xi )=f(xi )-P n(xi )=0,下面来估计截断误差：

定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n) =f(n) (x)在[a,b]上连续， y(n+1) = f(n+1) (x) 在(a,b)上存在；插值结点为: a≤x0 <x1 <…<xn ≤b, Pn (x)是n次拉格朗日插值多项式；则对任意x∈[a,b]有：

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其中ξ∈(a,b), ξ依赖于x：ωn+1 (x)=(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )

证明：由插值多项式的要求： Rn(xi )=f(xi )-Pn (xi )=0，(i=0,1,2,…,n); 设 Rn (x)=K(x)(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )=K(x)ωn+1 (x)

其中K(x)是待定系数；固定x∈[a,b]且x≠xk ，k=0,1,2,…,n;作函数

H(t)=f(t)-Pn (t)-K(x)(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )

则 H(xk )=0，(k=0,1,2,…,n), 且H(x)=f(x)-Pn (x)-Rn(x)=0, 所以，

H(t)在[a,b]上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理:存在ξ∈(a,b),

使

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; 因Pn (x)是n次多项式，故P(n+1) (ξ)=0, 而

ωn+1 (t)=(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )

是首项系数为1的n+1次多项式，故有

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于是 H(n+1) (ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)!K(x) 得：

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所以

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设

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, 则：

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易知，线性插值的截断误差为:

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二次插值的截断误差为:

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下面来分析前面两个例子(例1，例2)中计算lg12的截断误差： 在例1中，用lg10和lg20计算lg12, P1(12)=1.0602,lg12=1.0792

e=|1.0792-1.0602|=0.0190; 估计误差：f(x)=lgx,

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,当x∈[10,20]时,

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在例2中，用lg10,lg15和lg20计算lg12. P2(12)=1.0766,

e = |1.0792-1.0766|=0.0026 估计误差：

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