普通正态分布如何转换到标准正态分布中_正态分布化成标准正态的公式

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

项目github地址：bitcarmanlee easy-algorithm-interview-and-practice 欢迎大家star，留言，一起学习进步

1.普通正态分布转换标准正态分布公式

我们知道正态分布是由两个参数 μ \mu μ与 σ \sigma σ确定的。对于任意一个服从 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)分布的随机变量 X X X，经过下面的变换以后都可以转化为 μ = 0 , σ = 1 \mu=0, \sigma=1 μ=0,σ=1的标准正态分布(standard normal distribution)。转换公式为: z = X − μ σ z = \frac{X-\mu}{\sigma} z=σX−μ​

2.证明

概率统计的教科书上一般直接给出这个结论，并没有给出相应的证明。下面我们来看看这个结论的推理过程。由于犯懒懒得编辑公式，直接贴截图，证明过程来自参考文献1。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

3.几个应用的例子

3.1 假设公共汽车门的高度按成年男性碰头机会小于1%来设计。又假设成年男性的身高服从正态分布 X ∼ N ( 170 , 6 2 ) X \sim N(170, 6^2) X∼N(170,62)，求问车门的高度 h h h为多少?

假设身高这一随机变量为 X X X，那么要求的问题为: P ( x > h ) = 0.01 P(x > h) = 0.01 P(x>h)=0.01 即 1 − P ( x ≤ h ) = 0.01 1 – P(x \le h) = 0.01 1−P(x≤h)=0.01 P ( x ≤ h ) = 0.99 P(x \le h) = 0.99 P(x≤h)=0.99

因为 X ∼ N ( 170 , 6 2 ) X \sim N(170, 6^2) X∼N(170,62), 所以 h − 170 6 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{h – 170}{6} \sim N(0, 1) 6h−170​∼N(0,1)。 通过查标准正态分布表可知, P ( z ≤ 2.33 ) = 0.99 P(z \le 2.33) = 0.99 P(z≤2.33)=0.99 因此h = 170 + 6 * 2.33 = 183.98cm

3.2 现在有一个 μ = 10 \mu = 10 μ=10和 σ = 2 \sigma = 2 σ=2的正态随机变量，求x在10与14之间的概率是多少？ 当x=10时，z = 0。当x=14时，z = (14-10)/2 = 2。于是，x在10与14之间的概率等价于标准正态分布中0与2之间的概率。 P ( 0 ≤ z ≤ 2 ) = P ( z ≤ 2 ) − P ( z ≤ 0 ) = 0.4772 P(0 \le z \le 2) = P(z \le 2) – P(z \le 0) = 0.4772 P(0≤z≤2)=P(z≤2)−P(z≤0)=0.4772

参考文献： 1.https://www.zhihu.com/question/30121927

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。

发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/191189.html原文链接：https://javaforall.cn