投影矩阵推导_矩阵投影变换
概要
投影变换是计算机图形学的基础，理解并推导投影矩阵也是很有必要的。正交投影比较简单，没有透视失真效果（近大远小）。而透视投影比较符合人类的眼睛感知，平行线在远处会相交于一点。 投影是通过一个4×4的矩阵来完成的，将视锥映射成标准观察体（齐次裁剪空间）。
正交投影
OpenGL
OpenGL采用的是右手坐标系，z轴朝屏幕向外，因此观察方向是朝着z轴负方向的，那么将x,y,z坐标从区间[l, r], [b,t], [-n, -f]映射到[-1, 1]的函数为：
得到投影矩阵：
当然也可以用一个平移和缩放矩阵的级联矩阵，来达到一样的效果。
DirectX
DirectX则是采用左手坐标系，z轴和观察方向是一致的，因此只需要将z轴坐标从[n, f]映射到[0, 1]，x和y轴则和OpenGL是一样的。
透视投影
OpenGL
设P（Px, Py, Pz, 1）是在视锥体内的一点，那么它在近平面z=-n上的投影点，利用相似三角形原则，可以得到:
类似于正交投影，将x,y轴坐标映射到[-1, 1]区间内，得到：
然而和正交投影不同，z轴的坐标并不是线性的。在光栅化过程中，必须对z坐标的倒数进行插值，因此需要建立1/z的映射函数，这样就可以对投影深度进行插值，映射函数的形式如下：
将[-n, -f]映射到[-1, 1]，可以得到：
解这个简单的二元一次方程组，可以得到A，B的值
这样就得到了z轴上的映射函数：
3D点(x, y, z)等价于齐次坐标(-xPz, -yPz, -zPz, -Pz)，因此x,y,z分量都乘以-Pz得到：
得到投影矩阵：
变换后的齐次坐标，w分量为-Pz，
DirectX
DirectX的区别在于近平面为z=n，并且要将[n, f]映射到[0, 1]，经过类似的计算，可以得到
得到投影矩阵：
参考资料
《3D游戏与计算机图形学中的数学方法》 《实时计算机图形学2nd》
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