向量内积_向量的内积和外积公式

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向量内积 一般指点积；

在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个 向量并返回一个实数值 标量的 二元运算。它是 欧几里得空间的标准 内积。 [1]

两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用 矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：

a·b=a^T*b，这里的a^T指示 矩阵a的 转置。

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

向量内积_向量的内积和外积公式

推导过程如下，首先看一下向量组成：

向量内积_向量的内积和外积公式

定义向量：

向量内积_向量的内积和外积公式

根据三角形余弦定理有：

向量内积_向量的内积和外积公式

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

向量内积_向量的内积和外积公式

即：

向量内积_向量的内积和外积公式

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

向量内积_向量的内积和外积公式

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

a·b=0 正交，相互垂直

a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

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