线性回归 均方误差_线性回归模型中随机误差项的意义

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

刚开始学习机器学习的时候就接触了均方误差（MSE，Mean Squared Error），当时就有疑惑，这个式子是怎么推导的，但是因为懒没有深究。今天看到了唐宇迪老师的机器学习课程，终于理解他是怎么推导的了。一定要一步一步看下去，别看他公式这么多，随便认真看一下就能理解的！

问题描述

我们有工资和年龄两个特征，要预测银行会贷款给我们多少钱？

1. 拟合函数

假设： 年龄： x 1 x_1 x1​ 工资： x 2 x_2 x2​ 年龄的参数： θ 1 θ_1 θ1​ 工资的参数： θ 2 θ_2 θ2​ 那么有拟合函数：

（1）

将它转化为矩阵表达形式为：

（2） 其中x0全为1。

2. 误差

真实值和预测值之间通常情况下是会存在误差的，我们用ε来表示误差，对于每个样本都有：

（3） 上标i表示第i个样本。 误差ε是独立并且具有相同的分布，并且服从均值为0，方差为 θ 2 θ^2 θ2的正态分布。 由于误差服从正态分布，那么有：

（4） 将（3）带入（4）中有：

（5）

3. 似然函数

似然函数用于参数估计，即求出什么样的参数跟我们给出的数据组合后能更好的预测真实值，有：

（6） 取（6）式对数，将连乘转化为加法，这也是一般似然函数的求解方法：

（7） 将（7）式展开并化简有：

（8） （8）式等式右侧的第一项为一个常量，似然函数要取最大值，因而第二项越小越好，有：

（9） （9）式相当于最小二乘法的式子，即是均方误差的表达式。下一步我们要解出 θ θ θ的表达式

4. 求导

我们将（9）时表示为矩阵的形式，有：

（10） 接下来需要对矩阵求偏导，矩阵求偏导方法移至矩阵求偏导，过程如下：

（11） 最后解出：

（12）

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