信息熵、信息增益、信息增益比

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信息熵

“信息熵”是度量样本集合纯度最常用的一种指标。假定当前样本集合D中第k类样本所占的比例为pk（k=1,2,…,|y|），则D的信息熵定义为：

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Ent(D)的值越小，则D的纯度越高。

如果上面的解释不容易理解，那么下面再通俗地解释一下： 首先来看一下信息熵这个公式在数轴上的表示：

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可以看到，在概率为0.5的时候，信息熵是最大的，为1。 我们可以把信息熵理解为“不确定性”，当概率为0.5时，比如抛硬币，出现正反两面的概率都是0.5，所以这个事件的不确定性是最大的；当一个事件发生的概率为0或1的时候，那这个事件就是必然事件了，不确定性为0，所以信息熵最低，为0。

信息增益

假定离散属性a有V个可能的取值{a1,a2,a3,…,aV}，若使用a来对样本集D进行划分，则会产生V个分支结点，其中第v个分支结点包含了D中所有在属性a上取值为av的样本，记为Dv。我们可根据信息熵的式子计算出Dv的信息熵，再考虑到不同的分支结点所包含的样本数不同，给分支结点赋予权重|Dv|/|D|，即样本数越多的分支结点的影响越大，于是可计算出用属性a对样本集D进行划分所获得的“信息增益”：

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下面来看一个简单的数据集：

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该数据集包含17个训练样例，显然|y|=2，即“好瓜”和“非好瓜”。 正例占p1=8/17，反例占p2=9/17。于是可计算出根结点的信息熵为:

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然后，我们要计算出当前属性集合｛色泽，根蒂，敲声，纹理，脐部，触感｝中每个属性的信息增益。以属性“色泽”为例，它有3个可能的取值。若使用该属性对D进行划分，则可得到3个子集，分别记为D1（色泽=青绿），有6个样本；D2（色泽=乌黑），有6个样本；D3（色泽=浅白），有5个样本。 则这3个分支结点的信息熵分别为：

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于是可计算出属性“色泽“的信息增益为：

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同理，我们可计算出其他属性的信息增益：

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显然，“纹理”的信息增益最大。 这表示什么呢，通俗地讲，就是“纹理”这个属性是最能让我们买到好瓜的一个参照点。

信息增益比

在上面的介绍中，我们有意忽略了“编号”这一列，若把“编号”也作为一个候选划分属性，则可计算出它的信息增益为0.998，远大于其他候选划分属性。这很容易理解： “编号”将产生17个分支，每个分支结点仅包含一个样本，这些分支结点的纯度已达最大，即分支结点的信息熵为0。 所以不难得出，信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好，为减少这种偏好可能带来的不利影响，推出“信息增益比”来选择最优划分属性。 信息增益比的定义为：

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其中

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称为属性a的“固有值”。属性a的可能取值数目越多（即V越大），则IV(a)的值通常会越大。通过这种方式，来对可取值数目较多的属性作出惩罚。例如，对该西瓜数据集，有： IV(触感)=0.874 (V=2)， IV(色泽)=1.580 (V=3)， IV(编号)=4.088 (V=17)。

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