狄利克雷近似定理_莫比乌斯反演例题

首先定义几个概念：

1，卷积： 设

f,g

是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算

f\ast g

定义为

(f\ast g)(n) = \sum_{ij=n}{f(i)g(j)}

可以证明，卷积运算满足： 1）交换律：

f\ast g=g\ast f

由定义显然。

2）结合律：

(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)

考察两边作用在

n

上，左边是

\begin{align} ((f\ast g)\ast h)(n) &= \sum_{lk=n}(f\ast g)(l)h(k) \\ &= \sum_{lk=n}\left(\sum_{ij=l}f(i)g(j)\right)h(k)\\ &= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) \end{align}

右边是

\begin{align} (f\ast (g\ast h))(n) &= \sum_{il=n}f(i)(g\ast h)(l) \\ &= \sum_{il=n}f(i)\left(\sum_{jk=l}g(j)h(k)\right)\\ &= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) \end{align}

故两边相等。

3）存在单位元

\iota

使得

\iota \ast f=f

我们需要

(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\iota(i)f(j)=f(n)

故不难猜到

\iota

应该定义为

\iota(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq1 \end{cases}

事实上，直接验证可得

(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\delta_{i,1}f(j)=f(n)

以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。

2，乘法单位元

u

上面的

\iota

是数论函数在卷积意义下的单位元，而普通乘法

(fg)(n):=f(n)g(n)

意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数，记作

u

。

3，莫比乌斯函数

\mu

u

在卷积意义下的逆元，称为莫比乌斯函数。也就是说

\mu

是满足

u\ast\mu=\iota

的唯一的数论函数。 把这个表达式写开就是

\sum_{d\mid n}\mu(d)=\iota(n)

…………(*)

通常，莫比乌斯函数

\mu

定义为

\mu(1)=1

；

\mu(n)=(-1)^k

，如果

n

能写成

k

个不同素数之积；

\mu(n)=0

，其他情况。

按照这种定义不难证明(*)式。 对于

n=1

，(*)式成立； 对于

n\neq1

，用算术基本定理把

n

写成

n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}

于是

\begin{align} \sum_{d\mid n}\mu(d) =& \mu(1)+\mu(p_1)+\mu(p_2)+\cdots+\mu(p_k)+\mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k) \\ =& \binom{k}{0}+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+\cdots+\binom{k}{k}(-1)^k \\ =&(1-1)^k=0 \end{align}

现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢？

f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)

当且仅当

g(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)f(d)

换而言之，

f = g\ast u \Leftrightarrow g = f\ast\mu

证明：

\begin{align} f=g\ast u \Rightarrow& f\ast \mu=(g\ast u)\ast \mu \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast(u\ast\mu) \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast\iota \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g \end{align}

反之

\begin{align} g=f\ast\mu \Rightarrow& g\ast u=(f\ast\mu)\ast u \\ \Rightarrow& g\ast u=f\ast(\mu\ast u) \\ \Rightarrow& g\ast u=f\ast\iota \\ \Rightarrow& g\ast u=f \end{align}

作者：Syu Gau 链接：https://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

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