剑指 offer｜14 剪绳子

孟君

发布于 2022-11-21 20:26:47

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发布于 2022-11-21 20:26:47

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，
n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。
请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？
例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，
此时得到的最大乘积是18。

来源：https://leetcode.cn/problems/jian-sheng-zi-lcof

示例1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例2：

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 58

解题分析

我们从题目中看到，长度N的绳子切割后，分段值乘积最大的结果其实与较短的结果相关，比如分成2段，可以是1和6，2和5以及3和4，所以如果考虑乘积，我们可以考虑动态规划的思想，把每段的最大值存储下来。

int[] dp = new int[n + 1];

//dp[i]表示长度为i的切割段的最大乘积，其中：
dp[0]  = 0； //不能分段
dp[1]  = 0; //不能分段，记为0
dp[2]  = 1; //只能分成2段1和1， 乘积为1 * 1 = 1

通过2层循环解决，

1、外层循环：因为dp[0]、dp[1]和dp[2]的值都已知，不是0就是1，所以，求乘积，我们外层从dp[3]开始。

2、内存循环：比对当前分成2段 (i -j) * j的值，和其他分段的最大乘积的值dp[i-j][j]，两者之间的值，取大值。

 dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));

有了这个思路，我们来写出一个dp解法：

方法1

class Solution {
  public int cuttingRope(int n) {

    int[] dp = new int[n + 1];

    dp[0] = 0; // 不能切断
    dp[1] = 0; // 不能切断
    dp[2] = 1; // 只能是1 * 1 = 1

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
      for(int j = 2; j <i; j++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
      }
    }
    return dp[n];
  }
}

由于分段有一定的对称性，比如N = 7，分成2段，1和6，2和5，3和4， 4和3，5和2，6和1，所以可以看出，有一定的对称性。所以，内循环的范围可以只到中间值：

for(int j = 2; j <=(i+j) /2; j++) {
... ...
}

调整后的代码：

class Solution {
  public int cuttingRope(int n) {

    int[] dp = new int[n + 1];

    dp[0] = 0; // 不能切断
    dp[1] = 0; // 不能切断
    dp[2] = 1; // 只能是1 * 1 = 1

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
      for(int j = 2; j <=(i+j) /2; j++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
      }
    }
    return dp[n];
  }
}

做完了14-I，我们发现还有14-II。

题目描述：剑指offer 14-II. 剪绳子II

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段
（m、n都是整数，n>1并且m>1），
每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），
如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

来源：https://leetcode.cn/problems/jian-sheng-zi-ii-lcof

示例1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例2：

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 1000

这个14-II与14-I的区别是对于较大的数字需要取模, 如：

答案需要取模 1e9+7（1000000007），
如计算初始结果为：1000000008，请返回 1

大数计算，我们可以使用java.math.BigInteger来替代int，如：

import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;

class Solution {
  public int cuttingRope(int n) {

    BigInteger[] dp = new BigInteger[n + 1];
    Arrays.fill(dp, BigInteger.valueOf(0));
    dp[0] = BigInteger.valueOf(0); // 不能切断
    dp[1] = BigInteger.valueOf(0); // 不能切断
    dp[2] = BigInteger.valueOf(1); // 只能是1 * 1 = 1

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
      for (int j = 2; j <= (i + j) / 2; j++) {
        dp[i] = dp[i].max(BigInteger.valueOf(j * (i - j))).max(dp[i - j].multiply(BigInteger.valueOf(j)));
      }
    }
    return dp[n].mod(BigInteger.valueOf(1000000007)).intValue();
  }
}

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原始发表：2022-06-22，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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