大学生非数竞赛专题一（6）

用户9628320

发布于 2022-11-23 14:14:14

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专题一函数与极限 (6)

1.2.6无穷小与无穷大的比较

1 无穷小的比较：假设

\alpha,\beta

均是(

x\rightarrow a

)的无穷小量；则(1)若

\dfrac{\alpha}{\beta}\rightarrow 0

,则称

\alpha

是

\beta

的高阶无穷小;（2）若

\dfrac{\alpha}{\beta}\rightarrow \infty

,则称

\alpha

是

\beta

的低阶无穷小；(3)若

\dfrac{\alpha}{\beta}\rightarrow c(c\neq 0,c\in R)

,则称

\alpha

是

\beta

的同阶无穷小，特别地，当

c=1

时，称

\alpha

与

\beta

是等价无穷小。

2 无穷大大量的比较：（1）当

n\rightarrow \infty

时，下列无穷大的阶数按小到大排列：

\ln n,n^{\alpha}(\alpha>0),n^{\beta}(\beta>\alpha>0),a^n(a>1),n^n

：（2）当

x\rightarrow +\infty

时,同理无穷小的阶数按小到大排列：

\ln x,x^{\alpha}(\alpha >0),x^{\beta}(\beta>\alpha>0),a^{x}(a>1),x^a

例1.22 （西安交通大学1989年竞赛题）当

x\rightarrow 0

时，确定一下下列无穷小量的阶数：（1）

\tan(\sqrt{x+2}-\sqrt{2})

；(2)

\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}-1

；(3)

3^{\sqrt{x}}-1

。

解：(1)对于第一个，当

x\rightarrow0

时,

\displaystyle\tan(\sqrt{x+2}-\sqrt{2})=\tan\sqrt{2}(\sqrt{1+\frac{x}{2}})-\sqrt{2}(\sqrt{1+\frac{x}{2}})=\frac{\sqrt{2}}{4}x

，即

\tan(\sqrt{x+2}-\sqrt{2})

是一阶无穷小；（2）同理，

\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}-1-\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{x}

，所以

\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}-1

是

\dfrac{1}{3}

阶无穷小；（3）同理，对原式

3^{\sqrt{x}}-1-e^{\sqrt{x}\ln3}-1-\sqrt{x}\ln3

，所以

3^{\sqrt{x}}-1

是

\dfrac{1}{2}

阶无穷小。

例1.23 （南京大学1995年竞赛题）对于充分大的一切

,五个函数

\displaystyle1000^{x},e^{3x},\log_{10}x^{1000},e^{\frac{1}{1000}x^2},x^{10^{10}}

谁最大。

解：根据之前，当

x\rightarrow +\infty

时，指数函数比幂函数比为高阶无穷大，幂函数比对数函数为高阶无穷大，且本文中指数

e^{\dfrac{1}{1000}x^2}

比为

x\ln100,3x

又是高阶无穷大，则

e^{\dfrac{1}{1000}x^2}

是最高的高阶无穷大。

很开心为大家更新，这几道竞赛题都是入门水平，希望大家好好体会。重要的还是做题的方法，感觉套路还是不少。

作者：小熊

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