利用分部积分以及二次积分求解一道积分问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:04:38

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利用分部积分以及二次积分求解一道积分问题

3.17 （江苏省2016竞赛题）设函数

\textstyle f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt

，试求定积分

\textstyle \int_{0}^{1}xf(x)dx

解决此题有两种方法，1.考虑分部积分 2.利用二次积分

【方法一】解：令

\textstyle f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt

，显然

f^{'}(x)=\frac{\ln(1+x)}{1+t^2}

，根据分部积分有

\begin{align*} \displaystyle \int_{0}^{1}xf(x)dx &=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}f(x)dx^2=\dfrac{1}{2}x^2f(x)|_{0}^{1}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x^2\cdot \dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx\\ &=\dfrac{1}{2}f(1)-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx+\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx\\ &=f(1)-\ln 2+\dfrac{1}{2} \end{align*}

而

\textstyle f(1)=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt

，利用换元，

\frac{1+t}{2}=\frac{1}{1+x}

，

\begin{align*} \displaystyle \textstyle f(1)&=\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt=\int_{0}^{1}\dfrac{\ln \dfrac{1}{2}+\ln\dfrac{1+t}{2}}{1+t^2}dt\\ &=\ln2\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+t^2}dt-\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=\ln 2\cdot\arctan x|_{0}^{1}-f(1)\\ &=\dfrac{\pi}{4}\ln2-f(1) \end{align*}

所以

\textstyle f(1)=\dfrac{\pi}{8}\ln2

，所以原式

=\textstyle (\dfrac{\pi}{8}-1)\ln2+\dfrac{1}{2}

【方法二】解：将积分转化成二次积分，再改变积分顺序有

\begin{align*} \displaystyle\int_{0}^{1}xf(x)dx &=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}x\dfrac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt=\int_{0}^{1}dt\int_{t}^{1}x\dfrac{\ln(1+t)}{1+t^2}dx\\ &=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-t^2)\dfrac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt=-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(1+t)dt+\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt\\ &=-\dfrac{1}{2}-\ln 2+f(1) \end{align*}

同理，利用第一问有，

f(1)=\dfrac{\pi}{8}\ln2

，所以原式

=\left(\dfrac{\pi}{8}-1\right)\ln2+\dfrac{1}{2}

作者：小熊日期：6.30

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