竞赛好题暑假练习2

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:08:58

3550

发布于 2022-11-23 15:08:58

利用积分和级数来求一道极限问题

求极限

\begin{align*} \lim\limits_{ \begin{subarray}{l} m \to \infty\ n \to \infty\ \end{subarray} }\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} \dfrac{(-1)^{i+j}}{i+j} \end{align*}

解：由于

\displaystyle\int_{-1}^{0}x^{i+j-1}dx=\dfrac{1}{i+j}x^{i+j}|_{-1}^{0}=-\dfrac{(-1)^{i+j}}{i+j}

，所以部分和

\displaystyle \begin{align*}S_{m,n} &=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\dfrac{(-1)^{i+j}}{i+j}=-\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\int_{-1}^{0}x^{i+j-1}dx \\&=-\sum_{i=1}^{m}(\int_{-1}^{0}x^{i+1-1}dx+\int_{-1}^{0}x^{i+2-1}dx+dotsb+\int_{-1}^{0}x^{i+n-1}dx)\\&=-\sum_{i=1}^{m}\int_{-1}^{0}(x^{i}+x^{i+1}+x^{i+2}+\dotsb+x^{i+n-1}dx)\\&=-\sum_{i=1}^{m}\int_{-1}^{0}\dfrac{x^{i}(1-x^{n})}{1-x}dx=-\sum_{i=1}^{m}\int_{-1}^{0}\dfrac{x^{i}-x^{i+n}}{1-x}dx\\ &=-\int_{-1}^{0}\dfrac{(x-x^{1+n}+(x^2-x^{2+n})+\dotsb+(x^m-x^{m+n}))}{1-x}dx\\ &=-\int_{-1}^{0}\dfrac{\dfrac{x(1-x^{n})}{1-x}}{1-x}dx+\int_{-1}^{0}\dfrac{\dfrac{x^{n+1}(1-x^m)}{1-x}}{1-x}dx\\&=\int_{-1}^{0}\dfrac{x-x^{m+1}}{(1-x)^2}dx+\int_{-1}^{0}\dfrac{x^{n+m+1}}{(1-x)^2}\end{align*}

而当

x\in[-1,0]

时，有

1\leq(1-x)^2\geq 4

，所以当

l\rightarrow +\infty

时，有

\displaystyle \dfrac{1}{4}\int_{-1}^{0}x^{l}dx \leq \int_{-1}^{0}\dfrac{x^l}{(1-x)^2}dx \leq \int_{-1}^{0}x^{l}dx

，而

\displaystyle\int_{-1}^{0}x^ldx=\dfrac{1}{l+1}x^{l+1}|_{-1}^{0}=\dfrac{(-1)^{l+2}}{^{l+1}}\quad l\rightarrow 0

所以原式

\displaystyle \begin{align*}&=\lim\limits_{m \rightarrow +\infty \\ n\rightarrow +\infty}S_{m,n}=-\int_{-1}^{0}\dfrac{x}{(1-x)^2}\\&=\int_{-1}^{0}\dfrac{1}{(1-x)^2}dx-\int_{-1}^{0}\dfrac{1}{1-x}dx=\ln 2-\dfrac{1}{2}\end{align*}

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