考研数学综合题5

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:11:28

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利用交换积分以及级数性质求解一道数列通项的问题

已知函数

\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin 2tdt\int_{0}^{x}\dfrac{u^2du}{(1+u^2\sin^2t)}

\displaystyle F(x)=f(x)-x=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^n,-1 < x < 1

求

a_{n}

的表达式。

分析：首先解出

f(x)

的表达式，但是直接积分是求不出来的，可以采用累次积分，后面根据函数展开成幂级数，对比对应项即可求解。

解析：先交换积分次序，得

\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{u^2\sin 2t}{(1+u^2\sin^2t)}dt]du

，两边对

求导，有

\begin{align*}\displaystyle f^{'}(x)&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x^2\sin 2t}{(1+x^2\sin^2t)}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d(1+x^2\sin^2t)}{(1+x^2\sin ^2 t)}\\ &=-\dfrac{1}{1-x^2\sin^2t}\bigg|_{t=0}^{t=\frac{\pi}{2}}=-\dfrac{1}{1+x^2}+1\end{align*}

再利用定积分性质有

\begin{align*}\displaystyle f(x)&=\int_{0}^{x}f^{'}(t)dt+f(0)=\int_{0}^{x}\left(-\dfrac{1}{1+t^2}+1\right)dt\\&=-\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\cdot t^{2n}dx+x\\&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot \dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}+x,-1 < x <1\end{align*}

所以

\displaystyle F(x)=f(x)-x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{2n+1}x^{2n+1},-1 < x <1

，故

\begin{align*}a_{n}=\displaystyle\begin{cases}0, &n=2k\\(-1)^{k+1}\dfrac{1}{2k+1}, &n=2k+1\end{cases}\end{align*}

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作者：小熊

写作日期：7.9

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原始发表：2021-07-09，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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