竞赛好题暑假练习9

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:15:03

3710

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

利用拆分区间解决一道带有绝对值的三角函数的二重积分问题

计算二重积分

\displaystyle \iint\limits_{D}|\cos (x+y)|dxdy

，其中

是由

0\leq x \leq \pi

，

0 \leq y \leq \pi

所确定的闭区域。

分析：关键在于要去掉积分函数的绝对值，此时重要的就是积分区间的划分。

解析：由题意得

0 \leq x+y \leq 2\pi

，所以根据余弦函数的性质，可以将区间划分三个小区间，有

\cos(x+y)=\begin{cases}\displaystyle \geq 0,&0 \leq x+y \leq \dfrac{\pi}{2},\\ \leq 0,&\dfrac{\pi}{2} < x+y \leq \dfrac{3\pi}{2},\\ \geq 0,&\dfrac{3\pi}{2} < x+y \leq 2\pi\end{cases}

令

D_{1}:0\leq x+y \leq \dfrac{\pi}{2}

，

D_{2}:\dfrac{\pi}{2} < x+y \leq \dfrac{3\pi}{2}

，

D_{3}:\dfrac{3\pi}{2} < x+y \leq 2\pi

，所以

\begin{align*}\displaystyle\iint\limits_{D}|\cos(x+y)|dxdy&=\iint\limits_{D_{1}}\cos(x+y)dxdy+\iint\limits_{D_{3}}\cos(x+y)dxdy-\iint\limits_{D_{2}}\cos(x+y)dxdy\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}-x}\cos(x+y)dy+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}dx\int_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi}\cos(x+y)dy-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx\int_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi}cos(x+y)dy-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}dx\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}-x}\cos(x+y)dy\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin x)dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(1+\sin x)dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(1-\sin x)dx\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}2dx=2\pi\end{align*}

作者：小熊

写作日期：7.20

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原始发表：2021-07-20，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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