竞赛好题暑假练习14

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:21:41

4020

发布于 2022-11-23 15:21:41

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道不定积分的两种求解思路

计算

\displaystyle \int\dfrac{1}{(x^2+1)^3}dx

【解法一】：考虑一般形式，令

\displaystyle I_{n}=\int\frac{1}{(x^2+1)^n}dx

，则有

\displaystyle I_{1}=\int\frac{1}{x^2+1}dx=\frac{x}{x^2+1}+\int\frac{2x^2}{(x^2+1)^2}dx=\frac{x}{x^2+1}+2I_{1}-2I_{2}

，所以

\displaystyle I_{2}=\frac{1}{2}(\frac{x}{x^2+1}+I_{1})

\displaystyle I_{2}=\int\frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{x}{(x^2+1)^2}+\int\frac{4x^2}{(x^2+1)^3}dx=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4I_{2}-4I_{3}

所以

\displaystyle I_{3}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{(x^2+1)^3}+3I_{2}\right)=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3x}{8(x^2+1)}+\frac{3}{8}\arctan x+C

本质还是分部积分法

【解法二】：采用三角换元，令

x=\tan \theta

，带入则有

\begin{align*}\displaystyle \int\dfrac{1}{(x^2+1)^3}dx&=\int\frac{1}{\sec^6 \theta}\sec^2\theta d\theta=\int\cos^4\theta d\theta=\frac{1}{4}\int(\frac{3}{2}+2\cos 2\theta+\frac{1}{2}\cos 4\theta)d\theta\\&=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}\theta+\sin 2\theta+\frac{1}{8}\sin 4\theta+C\right)\\&=\frac{3}{8}\arctan x+\frac{3x}{8(x^2+1)}+\frac{x}{4(x^2+1)^2}+C\end{align*}

利用三角换元加上三角函数倍角公式

祝大家明天七夕快乐！

作者：小熊

写作日期：8.13

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-08-13，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度