竞赛好题暑假练习15

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:22:15

2480

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道数列极限的多种证明方法

设

x_{0} > 0

，

x_{n}=\dfrac{2(1+x_{n-1})}{2+x_{n-1}}(n=1,2,3\dotsb)

，证明

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}

存在，并求其极限值。

分析：证明数列极限存在的方法：1.夹逼定理 2.单调有界定理 3.级数收敛法 4.级数收敛的必要条件

方法一(单调有界定理)：由题意知

x_{n} > 0

，对任意的

，

x_{n}=1+\dfrac{x_{n-1}}{2+x_{n-1}} > 1

，

x_{n}=2-\dfrac{2}{2+x_{n-1}} < 2

，所以

\{x_{n}\}

有界；同时

x_{n+1}-x_{n}=2-\dfrac{2}{2+x_{n}}-(2-\dfrac{2}{2+x_{n-1}})=\dfrac{2(x_{n}-x_{n-1})}{(2+x_{n})(2+x_{n-1]})}

所以

x_{2}-x_{1}=\dfrac{2(x_{1}-x_{0})}{(2+x_{0})(2+x_{1})}

，即

x_{n+1}-x_{n}

与

x_{1}-x_{0}

同号，即

\{x_{n}\}

单调。所以极限存在。

设

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}

为

，所以

A=\dfrac{2(1+A)}{2+A}

，得

A=\sqrt{2}

，即

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=\sqrt{2}

方法二(级数收敛法)：根据方法一知，

1 < x_{n} < 2

，构造级数，

x_{n+1}-x_{n}=\dfrac{2(1+x_{n})}{2+x_{n}}-x_{n}=\dfrac{2-x_{n-1}^{2}}{(2+x_{n-1})(3+2x_{n-1})}

x_{n}-x_{n-1}=\dfrac{2-x_{n-1}^2}{2+x_{n-1}}

，而

\left|\dfrac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}-x_{n-1}}\right|=\dfrac{1}{3+2x_{n-1}} < \dfrac{1}{5}

，所以

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_{n})

绝对收敛，即

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}

收敛。极限值计算同方法一。

方法三(级数收敛的必要条件)：

\dfrac{x_{n}-\sqrt{2}}{x_{n}+\sqrt{2}}=\dfrac{\frac{2(1+x_{n-1})}{2+x_{n-1}}-\sqrt{2}}{\frac{2(1+x_{n-1})}{2+x_{n-1}}+\sqrt{2}}=(3-2\sqrt{2})\dfrac{x_{n-1}-\sqrt{2}}{x_{n-1}+\sqrt{2}}

根据正项级数有，

\left|\dfrac{\frac{x_{n}-\sqrt{2}}{x_{n}+\sqrt{2}}}{\frac{x_{n-1}-\sqrt{2}}{x_{n-1}+\sqrt{2}}}\right|=|3-2\sqrt{2}| < 1

，所以级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x_{n}-\sqrt{2}}{x_{n}+\sqrt{2}}

绝对收敛，即

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{x_{n}-\sqrt{2}}{x_{n}+\sqrt{2}}=0

，所以

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=\sqrt{2}

作者：小熊

写作日期：8.23

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原始发表：2021-08-23，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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