考研竞赛每日一练 day 17 道有关反三角函数的极限三种求解方法

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:40:57

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发布于 2022-11-23 15:40:57

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一道有关反三角函数的极限三种求解方法

计算极限

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^3(\arctan \sqrt{x^2+2}-\arctan \sqrt{x^2+1})

的值

【分析】：此此题可以考虑三种思路，（1）利用拉格朗日中值定理进行计算，（2）利用反三角函数的差的展开公式对原式进行变形，再利用等价无穷小得出，（3）利用洛必达法加上泰勒展开求解。

【解析】：

【方法一】：对反三角函数利用拉格朗日中值定理有，

\arctan\sqrt{x^2+2}-\arctan\sqrt{x^2+1}=\dfrac{\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}}{1+\xi^2}

，其中

\sqrt{x^2+1} < \xi < \sqrt{x^2+2}

，带入原极限有，

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^3(\arctan \sqrt{x^2+2}-\arctan \sqrt{x^2+1})&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^3\dfrac{\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}}{1+\xi^2}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^3}{1+\xi^2}(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1})\\&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2}{1+\xi^2}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+1}}\\&=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2}{1+\xi^2}\end{align*}

由于

\sqrt{x^2+1} < \xi < \sqrt{x^2+2}

，所以

x^2+2 < 1+\xi^2 < x^2+3

所以

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2}{1+\xi^2}=1

，即

I=\dfrac{1}{2}

【方法二】：由反三角函数的差的公式有，

\arctan \alpha-\arctan \beta=\arctan\dfrac{\alpha-\beta}{1+\alpha\beta}

故

\arctan\sqrt{x^2+2}-\arctan\sqrt{x^2+1}=\arctan\dfrac{\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}}{1+\sqrt{x^2+2}\sqrt{x^2+1}}

，带入原式有

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^3(\arctan \sqrt{x^2+2}-\arctan \sqrt{x^2+1})&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^3\arctan\dfrac{\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}}{1+\sqrt{x^2+2}\sqrt{x^2+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^3\dfrac{\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}}{1+\sqrt{x^2+2}\sqrt{x^2+1}}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3}{(1+\sqrt{x^2+2}\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+1})}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{(x^{-2}+\sqrt{(1+2x^{-2})(1+x^{-2})})(\sqrt{1+2x^{-2}+\sqrt{1+x^{-2}}})}=\dfrac{1}{2}\end{align*}

【方法三】：现将

x^3

变成分母，再利用洛必达和泰勒展开进行计算，有

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^3(\arctan \sqrt{x^2+2}-\arctan \sqrt{x^2+1})&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\arctan\sqrt{x^2+2}-\arctan\sqrt{x^2+1}}{x^{-3}}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[-\dfrac{1}{3x^{-4}}(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}(x^2+3)}-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}(x^2+2)})\\&=-\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^5[\dfrac{(x^2+2)\sqrt{x^2+1}-(x^2+3)\sqrt{x^2+2}}{(x^2+3)(x^2+2)\sqrt{x^2+2}\sqrt{x^2+1}}]\\&=-\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^8[\dfrac{(1+2x^{-2})\sqrt{1+x^{-2}-(1+3x^{-2})\sqrt{1+2x^{-2}}}}{(x^2+3)(x^2+2)\sqrt{x^2+2}\sqrt{x^2+1}}]\\&=-\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{8}[\dfrac{-\frac{3}{2}x^{-2}+o(x^{-2})}{(x^2+3)(x^2+2)\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2+1}}]=\dfrac{1}{2}\end{align*}

作者：小熊

写作日期：2021-10-24

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