考研竞赛每日一练 day 21 函数不等式的证明(单调性和泰勒公式的应用)

用户9628320

发布于 2022-11-23 07:44:35

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函数不等式的证明(单调性和泰勒公式的应用)

设

1\leq a < b

，函数

f(x)=x\ln^2x

，求证

f(x)

满足不等式（1）

0 < f^{''}(x) < 2(x > 1)

（2）

f(a)+f(b)-2f(\dfrac{a+b}{2}) < \dfrac{1}{2}(b-a)^2

分析：（1）证明导函数取值范围，可以考虑用导数来证明，求二阶导，利用导数来判断函数的取值范围；（2）第一种情况把

或者

的一个当成变量，构造函数，再利用导数来进行证明；第二种思路考虑函数的泰勒展开，在处

\dfrac{a+b}{2}

勒展开，再利用（1）的结论即可证明。

解析：（1）对函数求导，

f{'}(x)=\ln^2x+2\ln x

，

f^{''}(x)=\dfrac{2\ln x}{x}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{2(\ln x+1)}{x} > 0 (x>1)

，

f^{(3)}(x)=-\dfrac{2\ln x}{x^2} < 0(x > 1)

且

f^{'}(1)=0

.所以

f{''}(x)

在

[1,+\infty)

上单调递减，即

f{''}(x) < f^{''}(1)=2(x > 1)

，得证。

（2）思路一：构造辅助函数，将

改为

，移项有，构造函数

g(x)=\dfrac{1}{2}(x-a)^2+2f(\dfrac{x+a}{2})-f(x)-f(a)(1 \leq a \leq x\leq b)

求导

g^{'}(x)=x-a+f^{'}(\dfrac{x+a}{2})-f^{'}(x)=x-a-\dfrac{1}{2}f^{''}(\xi)(x-a)=\dfrac{1}{2}(x-a)(2-f^{''}(\xi))

其中

1\leq a\leq \dfrac{x+a}{2} < \xi < x

，由（1）知，

f^{''}(x) < 2

，所以

g^{'}(x) > 0

，即

g^{'}(x)

在

[a,+\infty)

是单增的，故

g(b) > g(a)=0

，展开得

f(a)+f(b)-2f(\dfrac{a+b}{2}) < \dfrac{1}{2}(b-a)^2

思路二：将函数在

\dfrac{a+b}{2}

进行泰勒展开，有

f(x)=f(\dfrac{a+b}{2})+f^{'}(\dfrac{a+b}{2})(x-\dfrac{a+b}{2})+f^{''}(\xi)(x-\dfrac{a+b}{2})^2

取

和

分别作为展开点，带入

f(a)=f(\dfrac{a+b}{2})+f^{'}(\dfrac{a+b}{2})\dfrac{a-b}{2}+f^{''}(\xi_{1})(\dfrac{a-b}{2})^2

f(b)=f(\dfrac{a+b}{2})+f^{'}(\dfrac{a+b}{2})\dfrac{b-a}{2}+f^{''}(\xi_{2})(\dfrac{b-a}{2})^2

其中

\xi_{1}\in (a,\dfrac{a+b}{2})

，

\xi_{2}\in (\dfrac{a+b}{2},b)

将上面相加，移项有

f(a)+f(b)-2f(\dfrac{a+b}{2})=\dfrac{1}{2}(f^{''}(\xi_{1})+f^{''}(\xi_{2}))\dfrac{(b-a)^2}{4}

根据（1）知，所以

f^{''}(\xi_{1})+f^{''}(\xi_{2}) < 4

，带入有

f(a)+f(b)-2f(\dfrac{a+b}{2})=\dfrac{1}{2}(f^{''}(\xi_{1})+f^{''}(\xi_{2}))\dfrac{(b-a)^2}{4} < \dfrac{1}{2}(b-a)^2

此题主要在于第二问，首先一般碰到函数不等式证明，一般考虑构造函数，利用常数变易法结合单调性来证明；而泰勒公式的想法在于有函数端点以及函数中点的导数值结合来进行证明，总之，此题考察基本点非常好，值得多思考。

作者：小熊

写作日期：2021-10-28

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原始发表：2021-10-28，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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