考研竞赛每日一练 day 22 一道级数证明题（幂级数展开和求幂级数的和的应用）

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:45:07

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一道级数证明题（幂级数展开和求幂级数的和的应用）

证明等式

\displaystyle 1+x\arctan x-\ln\sqrt{1+x^2}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{(2n-1)2n}

，并给出等式成立的条件。

分析：思路一：左边往右边证明，将函数幂级数展开，利用积分和求导关系证明；思路二：从右边往左边证明，求幂级数的和函数，同样利用积分和求导关系。

解析：方法一：记

f(x)=1+x\arctan x-\ln\sqrt{1+x^2}

，将其展开为

的幂级数，先对

f(x)

，求导，

f^{'}(x)=\arctan x+\dfrac{x}{1+x^2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{2x}{1+x^2}=\arctan x\qquad f^{''}(x)=\dfrac{1}{1+x^2}

由

\displaystyle \dfrac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^n(|t| < 1)

，得

f{''}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}(|x| < )

，两边逐项积分有

\begin{align*}f^{'}&=f^{'}(0)+\int_{0}^{x}f^{''}(t)dt=\int_{0}^{x}(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^{2n})dt\\&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nt^{2n+1}}{2n+1}\end{align*}

再积分一次有,

\begin{align*}f(x)&=f(0)+\int_{0}^{x}f^{'}(t)dt1+\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}\dfrac{(-1)^nt^{2n+1}}{2n+1}\\&=1+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2(n+1)}}{(2n+1)2(n+1)}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n-1)2n}\end{align*}

经过积分之后，技术收敛区间保持不变，当

x=\pm 1

时，原级数仍然收敛，所以成立的区间为

[-1,1]

方法二：利用幂级数求和，令

\displaystyle f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{2n-1}

，

f(0)=1

，求导两次有

\displaystyle f^{'}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1},f^{'}(0)=0

\displaystyle f^{''}=\sum_{n=1}^{\infty})(-1)^{n-1}x^{2n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^Nx^{2n}-\dfrac{1}{1+x^2}(|x| < 1)

再积分两次有，

\displaystyle f^{'}=f^{'}(0)+\int_{0}^{x}f^{''}(t)dt=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^2}dt=\arctan t

\begin{align*}f(x)&=f(0)+\int_{0}^{x}f^{'}(t)dt=1+\int_{0}^{x}\arctan t dt\\&=1+\arctan t|_{0}^{x}-\int_{0}^{x}\dfrac{t}{1+t^2}dt\\&=1+x\arctan x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\end{align*}

同理，级数求导以及积分收敛半径不变，当

x=\pm 1

时，级数收敛，所以收敛区间为

[-1,1]

本题从幂级数展开和求和的过程中，本质上利用求导和积分的性质，但是注意不要漏掉端点值，其次就是常见函数的幂级数展开形式以及幂级数的求和的公式，灵活利用。

作者：小熊

写作日期：2021-10-29

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