一道级数证明题（幂级数展开和求幂级数的和的应用）
证明等式
\displaystyle 1+x\arctan x-\ln\sqrt{1+x^2}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{(2n-1)2n}，并给出等式成立的条件。
分析：思路一：左边往右边证明，将函数幂级数展开，利用积分和求导关系证明；思路二：从右边往左边证明，求幂级数的和函数，同样利用积分和求导关系。
解析：方法一：记
f(x)=1+x\arctan x-\ln\sqrt{1+x^2}，将其展开为
x的幂级数，先对
f(x)，求导，
f^{'}(x)=\arctan x+\dfrac{x}{1+x^2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{2x}{1+x^2}=\arctan x\qquad f^{''}(x)=\dfrac{1}{1+x^2}由
\displaystyle \dfrac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^n(|t| < 1)，得
f{''}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}(|x| < )，两边逐项积分有
\begin{align*}f^{'}&=f^{'}(0)+\int_{0}^{x}f^{''}(t)dt=\int_{0}^{x}(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^{2n})dt\\&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nt^{2n+1}}{2n+1}\end{align*}再积分一次有,
\begin{align*}f(x)&=f(0)+\int_{0}^{x}f^{'}(t)dt1+\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}\dfrac{(-1)^nt^{2n+1}}{2n+1}\\&=1+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2(n+1)}}{(2n+1)2(n+1)}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n-1)2n}\end{align*}经过积分之后，技术收敛区间保持不变，当
x=\pm 1时，原级数仍然收敛，所以成立的区间为
[-1,1]方法二：利用幂级数求和，令
\displaystyle f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{2n-1}，
f(0)=1，求导两次有
\displaystyle f^{'}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1},f^{'}(0)=0\displaystyle f^{''}=\sum_{n=1}^{\infty})(-1)^{n-1}x^{2n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^Nx^{2n}-\dfrac{1}{1+x^2}(|x| < 1)再积分两次有，
\displaystyle f^{'}=f^{'}(0)+\int_{0}^{x}f^{''}(t)dt=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^2}dt=\arctan t\begin{align*}f(x)&=f(0)+\int_{0}^{x}f^{'}(t)dt=1+\int_{0}^{x}\arctan t dt\\&=1+\arctan t|_{0}^{x}-\int_{0}^{x}\dfrac{t}{1+t^2}dt\\&=1+x\arctan x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\end{align*}同理，级数求导以及积分收敛半径不变，当
x=\pm 1时，级数收敛，所以收敛区间为
[-1,1]本题从幂级数展开和求和的过程中，本质上利用求导和积分的性质，但是注意不要漏掉端点值，其次就是常见函数的幂级数展开形式以及幂级数的求和的公式，灵活利用。
作者：小熊
写作日期：2021-10-29
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