考研竞赛每日一练 day 23 一道考察积分与级数的好题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:47:45

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一道考察积分与级数的好题

设函数

\varphi(x)

在

(-\infty,+\infty)

连续，是周期为

的函数，

\displaystyle \int_{0}^{1}\varphi(x)dx=0

，函数

f(x)

在

[0,1]

上有连续函数，求证：（1）

\displaystyle \int_{0}^{x}\varphi(t)dt

是以

为周期的函数且在

(-\infty,+\infty)

上有界；（2）令

\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}f(x)\varphi(n x)dx

，则

\displaystyle a_{n}=-\int_{0}^{1}f^{'}(x)[\int_{0}^{x}\varphi(n t)dt]dx

；（3）级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}

收敛。

解析：

（1）由题意知

\varphi(x)

的周期为1，由于

\displaystyle (\int_{x}^{x+1}\varphi(t)dt)^{'}=\varphi(x+1)-\varphi(x)=0

，且

\displaystyle \int_{x}^{x+1}\varphi(x)dx=\int_{0}^{1}\varphi(x)dx=0

，所以

\displaystyle\int_{0}^{x}\varphi(t)dt

是以

为周期的函数，

且由于

\displaystyle \int_{0}^{x}\varphi(t)dt

在

(-\infty,+\infty)

连续，所以

\displaystyle \int_{0}^{x}\varphi(t)dt

在

[0,1]

有界，且周期为1，所以

\displaystyle \int_{0}^{x}\varphi(t)dt

是以

为周期的函数且在

(-\infty,+\infty)

上有界；

（2）利用分部积分法有，

\begin{align*}\displaystyle a_{n}&=\int_{0}^{1}f(x)d(\int_{0}^{x}\varphi(n t)dt)=\left(f(x)\int_{0}^{x}\varphi(n t)dt\right)\bigg|_{0}^{1}-\int_{0}^{x}f^{'}(x)(\int_{0}^{x}\varphi(nt)dt)dx\\&=-\int_{0}^{x}f^{'}(x)\left(\int_{0}^{x}\varphi(nt)dt\right)\end{align*}

对括号里换元一下，

\displaystyle \int_{0}^{x}\varphi(nt)dt=\dfrac{1}{n}\int_{0}^{nx}\varphi(s)ds

\begin{align*}\int_{0}^{1}\varphi(nt)dt&=\dfrac{1}{n}\int_{0}^{n}\varphi(s)ds=\dfrac{1}{n}\left[\int_{0}^{1}\varphi(s)ds+\int_{1}^{2}\varphi(s)ds+\dotsb+\int_{n-1}^{n}\varphi(s)ds\right]\\&=\dfrac{1}{n}\cdot n\int_{0}^{1}\varphi(s)ds=0\end{align*}

（3）先对

a_{n}

估计一下，有

\displaystyle |a_{n}|\leq |\int_{0}^{1}f^{'}(x)(\int_{0}^{x}\varphi(nt)dt)dx|

，由题意知，

f^{'}(x)

在

[0,1]

内连续，不妨设

|f^{'}(x)|\leq M

，同时由（2）知

\displaystyle \left|\int_{0}^{x}\varphi(nt)dt\right|=\dfrac{1}{n}\left|\int_{0}^{nx}\varphi(s)ds\right|

，而

\displaystyle \int_{0}^{x}\varphi(s)ds

在

(-\infty,+\infty)

有界，则

\displaystyle \left|\int_{0}^{x}\varphi(nt)dt\right|\leq \dfrac{m}{n}

，即

|a_{n}|\leq \dfrac{Mm}{n}

，平方有

a_{n}^{2}\leq \dfrac{Mm}{n^2}

而级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{Mm}{n^2}

收敛，故原级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}

收敛。

本题考察的都是积分与级数的应用，利用周期行构造函数，利用变限积分构造原函数，还有周期性的应用，以及函数的有界，最后就是级数的判别法，通过找正项级数找出答案。

作者：小熊

写作日期：2021-10-30

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