考研竞赛每日一练 day 24 一道巧妙构造函数的定积分证明题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:48:33

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道巧妙构造函数的定积分证明题

设函数

f(x)

在

[a,b]

上二阶连续可导且

|f^{2n}(x)|\leq M

，

f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0

，其中

k=1,2,3\dotsb,2n-1

，证明：

\displaystyle |\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq\dfrac{(b-a)^{2n+1}(n!)}{(2n)!(2n+1)!}M

解析：构造函数

g(x)=(x-a)^{n}(x-b)^{n}

，那么

\displaystyle g^{(2n)}(x)=\sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^{k}[(x-a)^{n}]^{(2n-k)}[(b-x)^{n}]^{(k)}=C_{2n}^{n}(n!)^2=(2n)!

又有

\begin{align*}\displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx&=\int_{a}^{b}(x-a)^n(b-x)^ndx=\dfrac{(b-a)^{2n+1}}{n+1}\int_{0}^{1}t^n(1-t)^{n}dt\\&=\dfrac{(b-a)^{2n+1}}{n+1}\left[\dfrac{1}{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n}\Big|_{0}^{1}-\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}(1-t)^{n-1}(-n)dt\right]\\&=(b-a)^{2n+1}\dfrac{n}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}(1-t)dt=(b-a)^{2n+1}\dfrac{n}{n+1}\cdot\dfrac{n-1}{n+2}\cdot\dotsb\cdot\dfrac{1}{2n}\int_{0}^{1}t^{2n}dt\\&=\dfrac{(b-a)^{2n+1}(n!)^2}{(2n+1)!}\end{align*}

注意到

\displaystyle \int_{a}^{b}f^{(2n)}g(x)dx=(-1)^{k}\int_{a}^{b}f^{(2n-k)}(x)g^{(k)}(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)g^{(2n)}(x)dx

所以，

\displaystyle |\int_{a}^{b}f(x)dx|=\dfrac{1}{(2n)!}\left|\int_{a}^{b}f^{(2n)}(x)g(x)dx\right|\leq\dfrac{M}{(2n)!}\left|\int_{a}^{b}g(x)dx=\dfrac{(b-a)^{2n+1}(n!)^2}{(2n)!(2n+1)!}M\right|

作者：小熊

写作日期：2021-11-2

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原始发表：2021-11-02，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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