考研竞赛每日一练 day 38 关于函数的渐近线和极值问题的两道考研题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:57:54

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关于函数的渐近线和极值问题的两道考研题

求曲线

x^3+y^3=3xy

的斜渐近线方程.

分析：此题给出的函数是隐函数，直接求函数渐近线是求不出来的，所以可以先设函数的渐近线方程，再利用条件去求未知参数。

解析：根据题意，设函数的斜渐近线为

\displaystyle y=ax+b

，根据定义有

a=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{y}{x}

，可以设

\dfrac{y}{x}=u

，带入方程，得

x^3+u^3x^3=3ux^3

，变形得

u^3=3\dfrac{u}{x}-1

，在等式两边取极限有

\lim\limits_{x\rightarrow \infty}u^3=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(3\dfrac{u}{x}-1)

，即

\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\dfrac{y}{x}\right)^3=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(3\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{1}{x}-1\right)

，即

a^3=-1

，解得

a=-1

；同理，

b=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(y-ax)=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(y+x)

，令

y+x=t

，变形得

y=t-x

，带入原方程有

x^3+(t-x)^3=3x(t-x)

，展开式子有

t^3-3xt+3x^3t=3xt-3x^2

，两边再除以

x^3

，有

\dfrac{t^3}{x^2}-3\dfrac{t^2}{x}+3t=3\dfrac{t}{x}-3

，再两边取极限有

\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\left(\dfrac{t^3}{x^2}-3\dfrac{t^2}{x}+3t\right)=\lim\limits_{x\rightarrow}\left(\dfrac{t}{x}-3\right)

，即

\lim\limits_{x\rightarrow \infty}[\dfrac{(y+x)^3}{x^2}-3\dfrac{(y+x)^2}{x}+3(y+x)]=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(3\dfrac{y+x}{x}-3\right)

，即

3b=-3

，所以

b=-1

。因此原方程的斜渐近线为

y=-x-1

点评：表面上考察斜渐近线，实质是函数极限的转化，这里用了设而不求的转化思想，题目灵活，创新性好。

已知数列

\{a_{n}\}=\left\{\dfrac{(1+n)^3}{(1-n)^2}\right\}

，

n=2,3,\dotsb

，求数列的最小值.

分析：显然直接判断数列的是不好做的，可以联想到函数与数列的对应关系，运用函数极值来求。

解析：令

f(x)=\dfrac{(1+x)^3}{(1-x)^2}

，则

f^{'}(x)=\dfrac{(1+x)^2(5-x)}{(1-x)^3}=0

，则得到驻点为

x=5

；同时d当

2\leq x <5

时，

f^{'}(x)<0

；当

x >5

时，

f^{'}(x)>0

；所以

f(x)

在

x=5

取得最小值，

f_{min}(x)=f(5)=\dfrac{27}{2}

，所以

\{a_{n}\}

的最小值为

\dfrac{27}{2}

作者：小熊

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