考研（大学）数学极限与连续（1）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:18:23

3080

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极限与连续（1）

基础

已知

\displaystyle\alpha =\int_0^{5x}{\frac{\sin t}{t}}dt

，

\displaystyle \beta =\int_0^{\sin x}{\left( 1+t \right) ^{\frac{1}{t}}}dt

，当

x\rightarrow 0

时，判断

\alpha

与

\beta

的关系

解：当

x\rightarrow 0

时，记

\dfrac{\alpha}{\beta}

为原式，则原式

=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\int_0^{5x}{\dfrac{\sin t}{t}}dt}{\int_0^{\sin x}{\left( 1+t \right) ^{\dfrac{1}{t}}}dt}=5\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{\dfrac{\sin 5x}{5x}}{\left( 1+\sin x \right) ^{\dfrac{1}{\sin x}}}=\dfrac{5}{e}

，当

x\rightarrow 0

，

\left( 1+\sin x \right) ^{\frac{1}{\sin x}}=e

。由定义可知，当

x\rightarrow 0

时，则

\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{5}{e}

，即为同阶无穷小。

解题思路：首先对要求的式子判断是阶的关系。可以用与

x^n

的进行比较，或者直接将两个式子相除，直接进行极限的计算。首先对含参数的积分式子进行分析，发现当

x\rightarrow 0

时，分子分母均是无穷小，分母是一个重要极限即为

，再根据无穷小的定义，得出是同阶无穷小。

设

f\left( x \right)

连续且

\displaystyle F\left( x \right) =\frac{x^2}{x-a}\int_a^x{f\left( t \right)}dt

，求

\underset{x\rightarrow a}{\lim}F\left( x \right)

解：

\underset{x\rightarrow a}{\lim}F\left( x \right) =\underset{x\rightarrow a}{\lim}x^2\cdot \dfrac{\int_a^x{f\left( t \right) dt}}{x-a}=\underset{x\rightarrow a}{\lim}a^2f\left( x \right)=a^2f\left( a \right)

解题思路：通过最后要求的表达式，首先分析含参积分的式子，它是一个零式，分母也可以看出趋近0.即是0比0型。

x^2

是一个定型，直接洛必达法则得出答案。

提高

设

\displaystyle \underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{2\arctan x-\ln \frac{1+x}{1-x}}{x^n}=c

，求

，

。

解：原式

\displaystyle =\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1-x^2}}{nx^{n-1}}=-\underset{x\rightarrow 0}{4\lim}\frac{1}{1-x^4}\cdot \frac{x^2}{nx^{n-1}}=c

，

n-1=2

，解得

n=3

，带入得

c=-\dfrac{4}{3}

解题思路：求这种问题带参数，本质还是极限计算。这题先根据极限方法进行化简求出一个参数，再求另外一个参数。观察题目极限的类型是0比0型，先用洛必达法则算下一步，根据最后结果为常数，得出

，再代入求出另外一个结果即极限

值。

f(x) =\begin{cases}\ \dfrac{x( x+2 )}{\sin \pi x} ,x<0;\ \dfrac{x}{x^2-1},x\ge 0 \end{cases}

，求

f(x)

的间断点并对其分类。

解：

的间断点怀疑点有

，

-1

，

k( k\ne 0,-1,+1,k\subset z^- )

。故

\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\dfrac{x}{x^2-1}=0

，而

\underset{x\rightarrow 0^-}{\lim \left( x+2 \right)}\dfrac{x}{\sin \pi x}=\frac{2}{\pi}

，所以

是跳跃间断点；

\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\dfrac{x}{x+1}\cdot \dfrac{1}{x-1}=\infty

，故

是第二类间断点；

\underset{x\rightarrow -1}{\lim}\frac{x}{\sin \pi x}\cdot \left( x+2 \right) =-1

，故

-1

是可去间断点；

k < 0

时,

\underset{x\rightarrow k}{\lim}\dfrac{x\left( x+2 \right)}{\sin \pi x}=\infty

，故k

\left( k\ne 0,-1,+1,k\subset z^- \right)

是第二类间断点。

解题思路：首先对这种题判断间断点的类型，首先明确那些怀疑点。然后进行极限的计算，对于分段函数，还必须分左右极限进行计算，还有

\sin \pi x

注意其为零是一个周期，也要进行判断。

作者：小熊

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