考研（大学）数学导数与微分（2）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:23:01

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

导数与微分（2）

基础

设

f\left( x \right)

可导，且

F\left( x \right) =f\left( x \right) \left( 1+|\sin x| \right)

在

x=0

处可导，则（）

\begin{align*}&A.f\left( 0 \right) =0 \qquad B.f^{'}\left( 0 \right) =0 \\&C.f\left( 0 \right) =f^{'}\left( 0 \right) \qquad D.f\left( 0 \right) =-f^{'}\left( 0 \right)\end{align*}

解：首先

F^{'}\left( 0 \right)

存在，由连续性质得

F\left( 0 \right) =f\left( 0 \right)

，则由定义

F^{'}\left( 0 \right) =\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{F\left( x \right) -F\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f\left( x \right) \left( 1+|\sin x| \right) -f\left( 0 \right)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)|\sin x|}{x}

，由于

\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{\sin x}{x}=1

，

\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}=\dfrac{-\sin x}{x}=-1

，要使极限存在，必须使

\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=0

，故

f(0)=0

设

f\left( x \right)

连续，且

\displaystyle F( x ) =\int_{\dfrac{1}{x}}^{\ln x}f(t) dt

，则

F^{'}( x )

为（）

\begin{align*}&A.\dfrac{1}{x}f\left( \ln x \right) +\dfrac{1}{x^2}f\left( \dfrac{1}{x} \right) \qquad B.f\left( \ln x \right) +f\left( \dfrac{1}{x} \right)\\&C.\dfrac{1}{x}f\left( \ln x \right) -\dfrac{1}{x^2}f\left( \frac{1}{x} \right) \qquad D.f\left( \ln x \right) -f\left( \dfrac{1}{x} \right)\end{align*}

解：对于变限积分函数求导直接公式，

\displaystyle F^{'}\left( x \right) =\left( \int_{\frac{1}{x}}^{\ln x}{f\left( t \right) dt} \right) ^{'}=\dfrac{1}{x}f\left( \ln x \right) +\dfrac{1}{x^2}f\left( \dfrac{1}{x} \right)

解题思路：此题是送分题，就是把上下限看成复合函数求导即可，先上限后下限，求导注意减号。

提高篇

设

x=x\left( t \right)

由

\displaystyle \sin t-\int_0^{x-t}{e^{-u^2}du}=0

确定，求

\dfrac{d^2x}{dt^2}\bigg|_{t=0}

。

解：两边直接对

求导，则

\cos t-\left( \dfrac{dx}{dt}-1 \right) e^{-\left( x-t \right) ^2}=0

，再对

求导，则

-\sin t-\dfrac{d^2x}{d^2t}e^{-\left( x-t \right) ^2}-2\left( x-t \right) \left( \dfrac{dx}{dt}-1 \right) e^{-\left( x-t \right) ^2}=0

解得当

t=0

时，

x=1

，

\dfrac{dx}{dt}\bigg|_{t=0}=e+1

，故

\dfrac{d^2x}{dt^2}\bigg|_{t=0}=2e^2

。

解题思路：本题仍然是变限求导结合隐函数来做，一般边求导，边解出基础的条件，初始值以及一阶导数的值，注意求导不要求错了就是，中间用到的还是复合函数求导的问题或者乘法公式的应用。

求曲线

x^3-3xy+y^3=3

上纵坐标最大和最小的点。

解：首先对等式两边对

求导，则

3x^2-3y-3x\dfrac{dy}{dx}+3y^2\dfrac{dy}{dx}=0

，令

\dfrac{dy}{dx}=0

，解得

y=x^2

或者

x=y^2

。带入原式

x^3-3xy+y^3=3

，得

x=-1,y=1

；当

x=y^2

，带入原方程解得

y=-1

或

y=\sqrt[3]{3}

。

x=\sqrt[3]{3}

，

y=\sqrt[3]{9}

。所以曲线上纵坐标最大的点为

\left( \sqrt[3]{3},\sqrt[3]{9} \right)

，最小的点为

\left( 1,-1 \right)

。

解题思路：本题考察函数的极值问题，首先想到的是函数的极值与导数的关系，由于是隐函数，故首先考虑的是对原方程进行求导，然后函数的极值出现在驻点位置，故令一阶导为零，解得的几个点在带入原方程，解出的点在比较大小即可。

作者：小熊

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