考研（大学）数学不定积分（2）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:30:07

3770

发布于 2022-11-23 16:30:07

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不定积分（2）

基础

求

\displaystyle \int{\frac{1}{1-x^2}}\ln \frac{1+x}{1-x}dx

解：

\left( \ln \dfrac{1+x}{1-x} \right) ^{'}=\left( \ln \left( 1+x \right) -\ln \left( 1-x \right) \right) ^{'}=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{2}{1-x^2}

，所以原式

\displaystyle =\dfrac{1}{2}\int{\ln \dfrac{1+x}{1-x}}d\left( \ln \dfrac{1+x}{1-x} \right) =\dfrac{1}{4}\ln \dfrac{1+x}{1-x}+C

解题思路：凑微分。

求

\displaystyle \int\arcsin ^2xdx

解：原式

\displaystyle =x\arcsin ^2x-\int{\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}\arcsin xdx}

，

\begin{align*}\int{\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}}\arcsin xdx&=-2\int{\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}}\arcsin xd\left( 1-x^2 \right) =-2\int{\arcsin xd\left( \sqrt{1-x^2} \right)}\\&=-2\arcsin x\sqrt{1-x^2}+2\int{dx=}-2\arcsin x\sqrt{1-x^2}+2x\end{align*}

所以原式

=x\arcsin ^2x+2\sqrt{1-x^2}\arcsin x-2x+C

。

解题思路：分部积分，以及凑微分。

提高

\displaystyle \int{\max \left\{ x+2,x^2 \right\}}dx

。

解：

\max \{ x+2,x^2\} =\begin{cases}x+2& -1 < x < 2 \\ x^2& x\le -1\text{或者}x\ge 2\end{cases}

所以当

x\le -1

时，

\displaystyle \int{\max \left\{ x+2,x^2 \right\}}dx=\dfrac{x^3}{3}+C_1

；

当

-1< x <2

时，

\displaystyle \int{\max \left\{ x+2,x^2 \right\}}dx=\dfrac{1}{2}x^2+2x+C_2

；

当

x\ge 2

时，

\displaystyle \int{\max \left\{ x+2,x^2 \right\}}dx=\frac{x^3}{3}+C_3

；

由连续，则

-\dfrac{1}{3}+C_1=\dfrac{1}{2}-2+C_2,2+4+C_2=\dfrac{8}{3}+C_3

，解得

C_1=C_2-\dfrac{7}{6},C_3=C_2+\dfrac{10}{3}

，取

C_2=C

，

当

x\le -1

时，

\displaystyle \int{\max \left\{ x+2,x^2 \right\}}dx=\dfrac{x3}{3}+C-\dfrac{7}{6}

当

-1 < x < 2

时，

\displaystyle \int{\max \left\{ x+2,x^2 \right\}}dx=\dfrac{1}{2}x^2+2x+C

当

x\ge 2

时，

\displaystyle \int{\max \left\{ x+2,x^2 \right\}}dx=\dfrac{x^3}{3}+C+\dfrac{10}{3}

解题思路：分段函数的拆分，不定积分求解，函数的连续性。

作者：小熊

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