大学生数学竞赛非数专题一（7）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:41:03

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专题一函数与极限 (7)

1.2.7 连续性与间断点

1.函数的连续性

1.1函数连续的定义：

f(x)

在某邻域

x=a

有定义，假设

\underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=f(a)

,则称

f(x)

是连续的。同理左连续，假设函数

f(x)

在

x=b

处有定义，有

\underset{x\rightarrow b^{-}}{\lim}f(x)=f(b)

,同理右连续，函数

f(x)

在

x=a

处有定义，假设

\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim}f(x)=f(a)

,假设

f(x)

在

(a,b)

连续，记作

f(x)\in C(a,b)

,同理假设

f(x)

在

x=a

处左连续，在

x=b

处右连续，则称

f(x)\in C[a,b]

1.2 连续函数具有四则运算性质 1.3 复合函数的极限与连续性

定理1:假设

\underset{x\rightarrow a}{\lim}\varphi(x)=b

，函数

f(x)

在

x=b

处连续，则有

\underset{x \rightarrow a}{\lim}f(\varphi(x))=f(\varphi(a))=f(b)

定理2：初等函数在有定义的区间均是连续的补充一下：闭区间连续函数的几个性质

定理1（有界定理）：若

f(x) \in C[a,b]

，则

\exists M>0

，使得

|f(x)|\leq M

定理2（最值定理）：若

f(x) \in C[a,b]

，则

\exists m,M为f(x)

的最小值以及最大值，使得

m\leq f(x)\leq M

定理3（零点定理）：若

f(x) \in C[a,b]

，有

f(a)f(b)<0

，则

\exists \xi \in(a,b)

，使得

f(\xi)=0

1.24 (江苏省1998年竞赛题) 求

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}|\pi sin(\sqrt{n^2+n})|

解：可知

\begin{align*}\displaystyle|\sin( \pi\sqrt{n^2+n})|&=|\sin[n\pi+(\sqrt{n^2+n}-n])\pi|\\&=|\sin n\pi\cdot \cos(\sqrt{n^2+n}-n)\pi+\cos n\pi\cdot \sin(\sqrt{n^2+n}-n)\pi|\\&=|0+(-1)^{n}\sin(\sqrt{n^2+n}-n)\pi|=|\sin(\sqrt{n^2+n}-n)\pi|\\&=|\sin\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\pi|=\sin\frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\end{align*}

所以原式

\displaystyle=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{\pi}{1+\sqrt{\frac{1}{n}}}=\sin\frac{\pi}{2}=1

例1.25 （江苏省2005年竞赛题）设函数

f(x)

在区间

(-\infty,+\infty)

上有定义，在

x=0

处连续，且对于一切的实数

x_{1},x_{2}

，均有

f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})

，求证：

f(x)

在

(-\infty,+\infty)

上处处连续.

解：取

x_{1},x_{2}=0

，根据

f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})

，则有

f(0+0)=2f(0)

得

f(0)=0

，由于

f(x)

在

x=0

连续的，

\underset{x\rightarrow 0}{\lim}f(x)=f(0)=0

；任取

x_{0} \in (-\infty,+\infty)

,取

t \rightarrow 0

，根据等式，取极限

\begin{align*}\displaystyle\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim}f(x)&=\underset{t \rightarrow 0}{\lim}f(x_{0}+t)=\underset{t \rightarrow 0}{\lim}(f(x_{0}+f(t)))\\&=\underset{t \rightarrow 0}{\lim}f(t)+f(x_{0})=0+f(x_{0})\\&=f(x_{0})\end{align*}

例1.25 (北京市1992年竞赛题) 设函数

f(x)

在

(0,1)

上有定义，且函数

e^xf(x)

与函数

e^{-f(x)}

在

(0,1)

上是单调递增的，求证：

f(x)

在

(0,1)

上连续。

解：首先考虑右连续，任取

x{0} \in (0,1)

，当

0< x_{0} < x < 1

，

e^{-f(x)}

是单调递增，故

e^{-f(x_{0})}\leq e^{-f(x)}

,则

f(x_{0})\geq f(x)

，同时

e^{x}f(x)

是单调递增，所以

e^{x_{0}}f(x_{0})\leq e^{x}f(x)

,得

e^{x_{0}-x}f(x_{0})\leq f(x)\leq f(x_{0})

，令

x\rightarrow x_{0}^{+}

，再取极限，根据夹逼准则，得

\underset{x \rightarrow x_{0}^{+}}{\lim}f(x)=f(x_{0})

，故

f(x)

是右连续的，同理可以证明其左连续，而

x_{0}

是任意性的，知

f(x)

在

(0,1)

是连续的。

2.间断点的分类

若

f(x)

在

x=a

处不连续，则称

x=a

是

f(x)

的一个间断点。间断点分成两类：

（1）

f(a^{-})

与

f(a^{+})

均存在，称

x=a

是

f(x)

的第一类间断点；若

f(a^{-})=f(a^{+})

,则称

x=a

是可去间断点，反之，

f(a^{-})\neq f(a^{+})

,即

x=a

是其跳跃间断点

（2）假设

f(a^{-})

和

f(a^{+})

至少一个不存在，则称

x=a

为

f(x)

的第二类间断点

例1.26 （精选题）设

\displaystyle f(x)=\frac{e^x-b}{(x-a)(x-b)}

有可去间断点

x=1

，求

a,b

的值

解：因为

x=1

是

f(x)

的可去间断点，所以

a=1

或者

b=1

，（1）当

b=1

,由于

\displaystyle\underset{x \rightarrow 1}{\lim}\frac{e^x-1}{(x-a)(x-1)}=\infty

，所以不符合；（2）当

a=1

时，要

\displaystyle\underset{x \rightarrow 1}{\lim}\frac{e^x-b}{(x-1)(x-b)}

存在，则必须

b=e

，则有

\displaystyle\underset{x \rightarrow 1}{\lim}\frac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}=\underset{x \rightarrow 1}{\lim}\frac{e(e^{x-1}-1)}{(x-1)(x-e)}=\frac{e}{1-e}

，所以满足条件 .

题目比较基础，重要的是套路的判断，注意连续性题目的方法，综合极限反复定义，就可以得出结果；间断点的问题比较基础，还是传统方法，本质求极限。注意之前的方法。有问题欢迎留言！

作者：小熊

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原始发表：2021-12-01，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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