大学生数学竞赛非数专题二（1）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:44:29

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

专题二一元微分学（1）

知识点：

2.1.1 导数的定义

（1）任意点的导数：

f^{'}(a)=\underset{\Box \rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(a+\Box)-f(a)}{\Box}=\underset{x\rightarrow a}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

（2）0处的导数：

f^{'}(0)=\underset{\Box \rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(\Box)-f(0)}{\Box}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}

2.1.2 左、右导数的定义

左导数：

f_{-}^{'}(a)=\underset{x\rightarrow a^{+}}{\lim}\dfrac{f(a+\Box)-f(a)}{\Box}=\underset{x\rightarrow a^{+}}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

右导数：

f_{+}^{'}(a)=\underset{x\rightarrow a^{+}}{\lim}\dfrac{f(a+\Box)-f(a)}{\Box}=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

导数存在的定义：左右导数都存在，即

f^{'}(a)=f^{'}_{-}(a)=f^{'}_{+}(a)

2.1 利用导数的定义

例2.1 （北京市1994年数学竞赛题）设函数

f(x)

在

(-\infty,+\infty)

内有定义，且对任意的

都有

f(x+1)=2f(x)

，且当

0\leq x\leq1

时，有

f(x)=x(1-x^2)

，请判断

x=0

处函数是否可导.

解：当

-1\leq x < 0

时，有

0\leq x+1 < 1

，所以

\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2}f(x+1)=\dfrac{1}{2}(x+1)(1-(x+1)^2)=-\dfrac{x}{2}(x+1)(2+x)

\displaystyle f^{'}_{-}(0)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}\dfrac{-\dfrac{x}{2}(x+1)(2+x)}{x}=-1

同理

f_{+}^{'}(0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim}\dfrac{x(1-x^2)}{x}=1

，由于

f^{'}_{-}(0)\neq f^{'}_{+}(0)

,所以

f(x)

在

x=0

处不可导。

例2.2 （江苏省2000年数学竞赛题）设

f(x)

可导，

F(x)=f(x)(1+|\sin x|)

，若

F(x)

在

x=0

处可导,则下列条件必须满足（）

\begin{align*}&A.f^{'}(0)=0\qquad B.f(0)=0 \\&C.f(0)+f^{'}(0)=0 \qquad D.f(0)-f^{'}(0)=0\end{align*}

解：根据导数定义知，

\begin{align*}F^{'}(0)&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{F(x)-F(0)}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)(1+|\sin x|)-f(0)}{x}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(\frac{f(x)-f(0)}{x}+\frac{f(x)|\sin x|}{x})=f^{'}(0)+f(0)\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{|\sin x|}{x}\end{align*}

由于

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{|\sin x|}{x}

分左右导数，左导数

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}\frac{|\sin x|}{x}=-1

，而右导数

\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim}\frac{|\sin x|}{x}=1

，要使导数存在，则

-f(0)=f(0)

，即

f(0)=0

,所以题目选B.

例2.3 （江苏省1996年数学竞赛题）设

x=0

时，有

\displaystyle\frac{d}{dx}f(\sin x)=\frac{d}{dx}f^{2}(\sin x)

，且

f^{'}(0)\neq 0

，求

f(0)

的值

解：首先根据

f(x)

可导，则

f(x)

连续，有

f(x)

在

x=0

处连续。应用

x=0

的导数定义，得

\displaystyle\frac{d}{dx}f(\sin x)\bigg|_{x=0}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(\sin x)-f(0)}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(\sin x)-f(0)}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}=f^{'}(0)

而

\begin{align*}\frac{d}{dx}f^{2}(\sin x)\bigg|_{x=0}&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f^{2}(\sin x)-f^{2}(0)}{x}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(\sin x)-f(0)}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot(f(\sin x)+f(0))\\&=2f(0)f^{'}(0)\end{align*}

根据可导，则有

f^{'}(0)=2f(0)f^{'}(0)

，解得

f(0)=\dfrac{1}{2}

例2.4 （北京市1991年数学竞赛题）设

是可导函数，对于任意实数

s,t

均有

f(s+t)=f(s)+f(t)+2st

，且

f^{'}(0)=1

，求函数

的表达式.

解：根据

f(0)

可导，令

t=0

，带入原式有

f(s)=f(s)+f(0)

，则

f(0)=0

，由导数

\displaystyle f^{'}(0)=\underset{s\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(s)}{s}=\underset{s\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(0+s)-f(0)}{s}=1

而

\displaystyle f^{'}(t)=\underset{s\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(s+t)-f(t)}{s}=\underset{s\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(s)}{s}+2t=2t+1

再进行积分得

\displaystyle\int f^{'}(t)dt=\int(2t+1)dt=t^2+t+C

，而

f(0)=0

,则

C=0

，所以

f(x)=x^2+x

例2.5 （精选题）设

\displaystyle f(x)\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{x^2e^{n(x-1)}+ax+b}{1+e^{n(x-1)}}

，讨论

f(x)

的连续性以及可导性.

解：根据题意有，可知

f(1)=\dfrac{1}{2}(1+a+b)

,当

x>1

时，

f(x)=x^2

,当

x<1

时，

f(x)=ax+b

;而

f(1^{-})=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}ax+b=a+b

，

f(1^{+})=1

,当

a+b=1=\dfrac{1}{2}(1+a+b)

，即

a+b=1

时，函数连续；且有

f(1)=1

，又

\displaystyle f_{-}^{'}(1)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}\frac{ax+b-1}{x-1}=\frac{a}{1}=a

同理

\displaystyle f_{+}^{'}(1)\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim}x+1=2

当且仅当

a=2,b=-1

时

在

x=1

处连续且可导.

例2.6 （江苏省2006年数学竞赛题）设

f(x)=\begin{cases}ax^2+b\sin x+c,&x\leq 0\\ln(1+x),&x>0 \end{cases}

，试问当

a,b,c

为何值时，

f(x)

在

x=0

处一阶导数连续，但是二阶导数不存在。

解：显然

f(x)

在

x=0

是连续的，有

f(0^{-})=c

，

f(0^{+})=0

,所以

c=0

，且

\displaystyle f^{'}_{-}(0)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}\frac{ax^2+b\sin x}{x}=b

，

\displaystyle f^{'}_{+}(0)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}\frac{\ln(1+x)}{x}=1

所以

b=1

，当

x=0

时，

f^{'}(x)=1

;

f^{'}(x)=\begin{cases}2ax+\cos x,&x<0\\\dfrac{1}{1+x},&x>0 \end{cases}

因为

f^{'}(0-)=1

，

f^{'}(0+)=1

，

f^{'}(0)=1

，所以当

b=1,c=0

时

f^{'}(x)

在

x=0

处连续；而同时

\displaystyle f^{''}_{-}(0)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}\frac{2ax+\cos x-1}{x}=2a

，

\displaystyle f^{''}_{+}(0)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{x}=-1

,所以当

2a\neq-1

时，

f(x)

在

x=0

处二阶不可导.综合上述，

a\neq-\dfrac{1}{2},b=1,c=0

满足题意。

今天的题目都比较有趣，都是一些常见的套路，证明可导一般要用到连续，而证明导数的存在更重要的是解决左右导数的问题，同时对于极限的求法又是一个关键点。大家可以仔细看看，有问题留言！谢谢

作者：小熊

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